已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，.
（Ⅰ）若（點(diǎn)在第一象限），求直線(xiàn)的方程；
（Ⅱ）求證：為定值（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析

解析試題分析：（Ⅰ）由拋物線(xiàn)的方程知焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為。設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限所以且。由拋物線(xiàn)的定義可知等于點(diǎn)到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離，即，可得，從而可求得點(diǎn)的坐標(biāo)。由點(diǎn)和點(diǎn)可求直線(xiàn)的方程。（Ⅱ）可分直線(xiàn)斜率存在和不存在兩種情況討論，為了省去討論也可直接設(shè)直線(xiàn)方程為，與拋物線(xiàn)聯(lián)立方程，消去整理可得關(guān)于的一元二次方程，因?yàn)橛袃蓚�(gè)交點(diǎn)即方程有兩根，所以判別式應(yīng)大于0。然后用韋達(dá)定理得根與系數(shù)的關(guān)系。用向量數(shù)量積公式求即可得證。
試題解析：解：（Ⅰ）設(shè)，由題意，且.
點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，且，
點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為.
，.                                     2分
又，，
.
.
，                                              4分
直線(xiàn)的方程為，即.        5分
（Ⅱ）由題意可設(shè)直線(xiàn)的方程為：.
由得，即.          7分
顯然恒成立.
設(shè)，，則                  9分

.
即為定值.                                11分
考點(diǎn)：1拋物線(xiàn)的定義；2直線(xiàn)方程；3直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系；4向量的數(shù)量積.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知拋物線(xiàn)C：y2＝2px(p>0)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(12,8)，N點(diǎn)在拋物線(xiàn)C上，且滿(mǎn)足＝，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

(1)求拋物線(xiàn)C的方程；
(2)以M點(diǎn)為起點(diǎn)的任意兩條射線(xiàn)l1，l2的斜率乘積為1，并且l1與拋物線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，l2與拋物線(xiàn)C交于D，E兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB，DE的中點(diǎn)分別為G，H兩點(diǎn)．求證：直線(xiàn)GH過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知?jiǎng)又本�(xiàn)與橢圓交于、兩不同點(diǎn)，且△的面積=，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）證明和均為定值；
（2）設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為，求的最大值；
（3）橢圓上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，判斷△的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知點(diǎn)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn), 點(diǎn)在橢圓上上.
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)若、均與橢圓相切,試探究在軸上是否存在定點(diǎn),點(diǎn)到的距離之積恒為1?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，橢圓上的點(diǎn)滿(mǎn)足，且的面積．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在直線(xiàn)，使與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且線(xiàn)段恰被直線(xiàn)平分？若存在，求出的斜率取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓的右頂點(diǎn)為A（2，0），點(diǎn)P（2e，）在橢圓上（e為橢圓的離心率）．

（1）求橢圓的方程；
（2）若點(diǎn)B，C（C在第一象限）都在橢圓上，滿(mǎn)足，且，求實(shí)數(shù)λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知拋物線(xiàn)C:,定點(diǎn)M(0,5),直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)F,O為原點(diǎn),若以O(shè)M為直徑的圓恰好過(guò)與拋物線(xiàn)C的交點(diǎn).
（1）求拋物線(xiàn)C的方程;
（2）過(guò)點(diǎn)M作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)C于A,B兩點(diǎn),連AF,BF延長(zhǎng)交拋物線(xiàn)分別于,求證: 拋物線(xiàn)C分別過(guò)兩點(diǎn)的切線(xiàn)的交點(diǎn)Q在一條定直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為原點(diǎn).
（1）如圖1，點(diǎn)為橢圓上的一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，且，求點(diǎn)到軸的距離；

（2）如圖2，直線(xiàn)與橢圓相交于、兩點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)，使四邊形為平行四邊形，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（13分） 已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，離心率等于，它的一個(gè)短軸端點(diǎn)點(diǎn)恰好是拋物線(xiàn) 的焦點(diǎn)。

（1）求橢圓C的方程；
（2）已知P（2,3）、Q（2，－3）是橢圓上的兩點(diǎn)，A,B是橢圓上位于直線(xiàn)ＰＱ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，
①若直線(xiàn)ＡＢ的斜率為，求四邊形ＡＰＢＱ面積的最大值；
②當(dāng)Ａ、B運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿(mǎn)足＝，試問(wèn)直線(xiàn)AB的斜率是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由。

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