Question

已知P：對任意a∈[1，2]，不等式|m-5|≤

a2+8

恒成立； Q：函數(shù)f（x）=x³+mx²+mx+6x+1存在極大值和極小值．求使“P且?Q”為真命題的m的取值范圍．

Answer 1

分析：判斷出p是真命題q為假命題，若p真，求出

a2+8

在a∈[1，2]上的最大值，令|m-5|小于等于最大值解不等式求出m的范圍，若q真，令f（x）的導函數(shù)的判別式大于0，求出m的范圍，求出q假m的范圍；求出p真q假m的范圍．

解答：解：“P且?Q”為真命題．則P為真命題，Q為假命題．
P：對任意a∈[1，2]，不等式|m-5|≤

a2+8

恒成立．
應(yīng)有|m-5|≤3，
解得2≤m≤8．
Q：函數(shù)f（x）=x³+mx²+mx+6x+1存在極大值和極小值，
f'（x）=3x²+2mx+m+6
若存在極大值和極小值有△=4m²-12（m+6）＞0．
得m＞6或m＜-3．
?Q為真命題，則-3≤m≤6．
則“P且?Q”為真命題的m的取值范圍是[2，6]

點評：解決不等式恒成立問題常采用的方法是分離出參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，求函數(shù)的最值；求復(fù)合命題真假的問題常轉(zhuǎn)化為構(gòu)成復(fù)合命題的簡單命題的真假問題來處理．