Question

已知函數(shù)f（x）=（ax²+2x-a）•e^x（a∈R）．
（1）若函數(shù)y=f（x）在x=-2處取得極值，求a的值，并判斷取得的極值是極大值還是極小值；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點P（1，f（1））處的切線方程為y=2ex+b，求a+b的值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,導數(shù)的概念及應用

分析：（1）求導函數(shù)，利用極值點必為f′（x）=0的根，求出a的值．利用函數(shù)的單調性，可確定函數(shù)的極值．
（2）求導函數(shù)，利用函數(shù)y=f（x）的圖象在點P（1，f（1））處的切線方程為y=2ex+b，即可求出a，b的值，從而求a+b的值．

解答： 解：（1）f′（x）=（e^x）′•（ax²+2x-a）+e^x•（ax²+2x-a）′=[ax²+（2a+2）x+2-a]e^x，
∵函數(shù)y=f（x）在x=-2處取得極值，
∴f′（-2）=0，
∴4a（2a+2）（-2）+2-a=0，
∴a=-2，
∴f′（x）=-2e^x（x+2）（x-1），
∴函數(shù)在（-∞，-2）上單調遞減，在（-2，1）上單調遞增，
∴函數(shù)y=f（x）在x=-2處取得極小值；
（2）f′（1）=（2a+4）e，
∵函數(shù)y=f（x）的圖象在點P（1，f（1））處的切線方程為y=2ex+b，
∴（2a+4）e=2e，
∴a=-1，
∵f（1）=2e，
∴2e+b=2e，
∴b=0，
∴a+b=-1．

點評：本題考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)極值的能力，以及導數(shù)的幾何意義，考查學生的計算能力．