如圖,在四棱錐P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面為直角梯形,,且PA=AB=BC=1,AD=2.

(Ⅰ)設(shè)MPD的中點,求證:平面PAB

(Ⅱ)求側(cè)面PAB與側(cè)面PCD所成二面角的平面角的正切值.

 

 

【答案】

解法一:(Ⅰ)證明:取PA的中點N,連結(jié)BN、NM,在△PAD中,,且;又,且,所以MNBC,即四邊形BCMN為平行四邊形,.又平面PAB,平面PAB,故平面PAB.               ……5分

(Ⅱ)在平面ABCD中,ABCD不平行,延長AB、CD交于一點,設(shè)為E,連結(jié)PE,則PE為側(cè)面PAB與側(cè)面PCD所成二面角的棱,又由題設(shè)可知側(cè)面PAB,于是過AF,連結(jié)DF,由三垂線定理可知AFD為側(cè)面PAB與側(cè)面PCD所成二面角的平面角.                                          ……8分

在△EAD中,由,,知BAE為中點,∴AE=2,在Rt△PAE中,PA=1,AE=2,∴,

即所求側(cè)面PAB與側(cè)面PCD所成二面角的平面角的正切值為        ……12分

 

 

 

 

 

 

 

 

 


解法二:以A為坐標(biāo)原點,以AB、AD、AP所在直線為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1).  ……2分

(Ⅰ)由MPD中點知M的坐標(biāo)為(0,1,1),所以,又平面PAB的法向量可取為 ∴,即. 又平面PAB,所以平面PAB.                                                          ……6分

(Ⅱ)設(shè)平面PCD的法向量為 

,∴ 

不妨取 則 ∴ 

又平面PAB的法向量為 

設(shè)側(cè)面PAB與側(cè)面PCD所成二面角的平面角大小為,

則由的方向可知,,∴ 

即所求側(cè)面PAB與側(cè)面PCD所成二面角的平面角的正切值為      ……12分

      (解法三:因為側(cè)面PAB,側(cè)面PAB,所以也可以考慮用射影面積來求解)

 

【解析】略

 

練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
2
,∠PAB=60°.
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如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長為a的菱形,∠ABC=60°PD⊥面ABCD,PC=a,E為PB中點
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(2008•武漢模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,BC∥AD,且∠BAD=90°,又PA⊥底面ABCD,BC=AB=PA=1,AD=2.
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(2)求A到面PCD的距離.

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