如圖,在四棱錐P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面為直角梯形,,且PA=AB=BC=1,AD=2.
(Ⅰ)設(shè)M為PD的中點,求證:平面PAB;
(Ⅱ)求側(cè)面PAB與側(cè)面PCD所成二面角的平面角的正切值.
解法一:(Ⅰ)證明:取PA的中點N,連結(jié)BN、NM,在△PAD中,,且
;又
,且
,所以MN
BC,即四邊形BCMN為平行四邊形,
.又
平面PAB,
平面PAB,故
平面PAB. ……5分
(Ⅱ)在平面ABCD中,AB與CD不平行,延長AB、CD交于一點,設(shè)為E,連結(jié)PE,則PE為側(cè)面PAB與側(cè)面PCD所成二面角的棱,又由題設(shè)可知側(cè)面PAB,于是過A作
于F,連結(jié)DF,由三垂線定理可知
AFD為側(cè)面PAB與側(cè)面PCD所成二面角的平面角.
……8分
在△EAD中,由,
,知B為AE為中點,∴AE=2,在Rt△PAE中,PA=1,AE=2,∴
,
故
,
即所求側(cè)面PAB與側(cè)面PCD所成二面角的平面角的正切值為
……12分
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解法二:以A為坐標(biāo)原點,以AB、AD、AP所在直線為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1). ……2分
(Ⅰ)由M為PD中點知M的坐標(biāo)為(0,1,1),所以,又平面PAB的法向量可取為
∴
,即
. 又
平面PAB,所以
平面PAB.
……6分
(Ⅱ)設(shè)平面PCD的法向量為
∵,∴
不妨取 則
∴
又平面PAB的法向量為
設(shè)側(cè)面PAB與側(cè)面PCD所成二面角的平面角大小為,
則由的方向可知
,
,∴
即所求側(cè)面PAB與側(cè)面PCD所成二面角的平面角的正切值為 ……12分
(解法三:因為側(cè)面PAB,
側(cè)面PAB,所以也可以考慮用射影面積來求解)
【解析】略
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