Question

（2011•武昌區(qū)模擬）已知正實(shí)數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，4S_n=a_n²+2a_n-3對(duì)于一切n∈N^*成立．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)bn=

2an-1

，Tn為數(shù)列{

an

bn

}的前n項(xiàng)和，求使T_n＜c恒成立的最小正整數(shù)c．

Answer 1

分析：（I）先求出數(shù)列的首項(xiàng)，然后根據(jù)當(dāng)n≥2時(shí)，4S_n=a_n²+2a_n-3，則4S_n-1=a_n-1²+2a_n-1-3，作差化簡(jiǎn)可得正數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，從而可求出其通項(xiàng)公式；
（II）根據(jù)數(shù)列{

an

bn

}通項(xiàng)公式的特點(diǎn)可知利用錯(cuò)位相消法進(jìn)行求和，從而可求出使T_n＜c恒成立的最小正整數(shù)．

解答：（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，4S₁=a₁²+2a₁-3=4a₁，得a₁²-2a₁-3=0，
a₁=3或a₁=-1，由條件a_n＞0，所以a₁=3．       …（2分）
當(dāng)n≥2時(shí)，4S_n=a_n²+2a_n-3，則4S_n-1=a_n-1²+2a_n-1-3
則4S_n-4S_n-1=a_n²+2a_n-3-（a_n-1²+2a_n-1-3），
所以4a_n=a_n²+2a_n-a_n-1²-2a_n-1，（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，…（4分）
由條件a_n+a_n-1＞0，所以a_n-a_n-1=2，…（5分）
故正數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，所以a_n=2n+1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）bn=

2an-1

=

22n+1-1

=2n，

an

bn

=

2n+1

2n

，…（7分）
∴T_n=

3

2

+

5

22

+…+

2n+1

2n

．…①
將上式兩邊同乘以

1

2

，得

1

2

T_n=

3

22

+

5

23

+…

2n-1

2n

+

2n+1

2n+1

…②…（8分）
①-②，得∴

1

2

T_n=

3

2

+

2

22

+

2

23

+…+

2

2n

-

2n+1

2n+1

=

5

2

-

2n+5

2n+1

．
所以T_n=5-

2n+5

2n

＜5．…（10分）
又T₁=

3

2

，T₂=

11

4

，T₃=

29

8

，T₄=

77

16

＞4．  …（11分）
若T_n=5-

2n+5

2n

＜c恒成立，
∴使T_n＜c恒成立的最小正整數(shù)c是5． …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及利用錯(cuò)位相消法進(jìn)行求和，同時(shí)考查了數(shù)列與不等式的綜合和計(jì)算能力，屬于中檔題．