Question

（2011•武昌區(qū)模擬）已知定義域為（0，+∞）的函數(shù)f（x）滿足：（1）對任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立；（2）當(dāng)x∈（1，3]時，f（x）=3-x．給出如下結(jié)論：
①對任意m∈Z，有f（3^m）=0；
②函數(shù)f（x）的值域為[0，+∞）；
③存在n∈Z，使得f（3ⁿ+1）=9．
其中所有正確結(jié)論的序號是

①②

．

Answer 1

分析：依據(jù)題中條件注意研究每個選項的正確性，連續(xù)利用題中第（1）個條件得到①正確；連續(xù)利用題中第①②個條件得到②正確，③錯誤．

解答：解：①∵對任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立，當(dāng)x∈（1，3]時，f（x）=3-x．
∴f（3^m）=f（3•3^m-1）=3f（3^m-1）=…=3^m-1f（3）=0，正確；
②取x∈（3^m，3^m+1]，則

x

3m

∈(1，3]；f(

x

3m

)=3-

x

3m

，f(

x

3

)=…=3mf(

x

3m

)=3m+1-x，
從而f（x）∈[0，+∞），正確；
③∵x∈（1，3]時，f（x）=3-x，對任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立，n∈Z，
∴f（3ⁿ+1）=3ⁿf（1+

1

3n

）=3ⁿ（3-（1+

1

3n

））=3ⁿ（2-

1

3n

）≠9，故③錯誤；
故答案為：①②．

點評：本題通過抽象函數(shù)，考查了函數(shù)的周期性，單調(diào)性，以及學(xué)生的綜合分析能力，難度大，易錯點在于②x∈（3^m，3^m+1]，f(

x

3

)=…=3mf(

x

3m

)=3m+1-x的轉(zhuǎn)化，屬于難題．