Question

18．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，且它們所對(duì)的邊a，b，c滿足a+c=kb，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 利用角A、B、C成等差數(shù)列B=$\frac{π}{3}$，利用a+c=kb，可得sinA+sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$k，進(jìn)而表示出k，即可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答 解：∵A+B+C=π，且角A、B、C成等差數(shù)列，
∴B=π-（A+C）=π-2B，解之得B=$\frac{π}{3}$，
∵a+c=kb，
∴sinA+sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$k
∴k=$\frac{2}{\sqrt{3}}$[sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）]=$\frac{2}{\sqrt{3}}$[sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA）]=2sin（A+$\frac{π}{6}$）
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴1＜2sin（A+$\frac{π}{6}$）≤2，
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是（1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查正弦定理，考查輔助角公式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．