Question

20．給出下列命題：
①存在實(shí)數(shù)x，使sinx+cosx=$\frac{3}{2}$；
②若α，β是第一象限角，且α＞β，則cosα＜cosβ；
③函數(shù)y=sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{2}$）是偶函數(shù)；
④要得到函數(shù)y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象，只需將函數(shù)y=sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位長度．
其中正確命題的序號(hào)是③．（把正確命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析 求出sinx+cosx的值域，可判斷①；舉出反例α=390°，β=30°，可判斷②；利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，進(jìn)而判斷其奇偶性，可判斷③；根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換法則，可判斷④．

解答 解：sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，$\frac{3}{2}$∉[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，故①錯(cuò)誤；
α=390°，β=30°是第一象限角，且α＞β，但cosα=cosβ，故②錯(cuò)誤；
函數(shù)y=sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{2}$）=cos$\frac{2}{3}$x，滿足f（-x）=f（x）恒成立，是偶函數(shù)，故③正確；
將函數(shù)y=sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位長度，可得函數(shù)y=sin[2（x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{6}$]=sin（2x+$\frac{2π}{3}$）的圖象，故④錯(cuò)誤；
故正確命題的序號(hào)是：③，
故答案為：③．

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷為載體，考查了正弦型函數(shù)的值域，奇偶性，平移變換法則，單調(diào)性，是三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．