Question

已知命題p：?x∈(

π

4

，

π

2

)，使mcosx=2sinx成立；命題q：函數(shù)y=log2[4x2+4(m-2)x+1]的定義域?yàn)椋?∞，+∞），若“p∨q”為真，“p∧q”為假，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：由命題p可得m＞2，由命題q可得1＜m＜3．由題意可得，p為真，q為假；或p為假，q為真，故有

m＞2 m≤1或m≥3

或

m≤2 1＜m＜3

，由此解得m的取值范圍．

解答：解：對(duì)于命題p：mcosx=2sinx，可化為m=2tanx成立，而當(dāng)x∈(

π

4

，

π

2

)時(shí)，y=2tanx為增函數(shù)，
故2tanx＞2，解得m＞2．（4分）
對(duì)于命題q：∵函數(shù)y=log2[4x2+4(m-2)x+1]的定義域?yàn)椋?∞，+∞），
∴4x²+4（m-2）x+1＞0，x∈R恒成立，即△=16（m-2）²-16＜0，解得1＜m＜3．（8分）
由條件：p∨q為真，p∧q為假，可得 命題p為真，命題q為假；或命題p為假，命題q為真．   （9分）
即

m＞2 m≤1或m≥3

或

m≤2 1＜m＜3

，解得m≥3，或1＜m≤2．
故m的取值范圍為{m|m≥3，或1＜m≤2}．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合命題的真假，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．