Question

在等差數(shù)列{a_n}中，a₂=5，a₆=21，記數(shù)列{

1

an

}的前n項和為S_n，
（Ⅰ）數(shù)列{a_n}的通項a_n=

 

；
（Ⅱ）若S_2n+1-S_n≤

m

15

對n∈N^*恒成立，則正整數(shù)m的最小值為

 

．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的前n項和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件得

a1+d=5 a1+5d=21

，由此能求出a_n=4n-3．
（Ⅱ）

1

an

=

1

4n-3

，由已知條件推導(dǎo)出（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）＞0，從而數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是遞減數(shù)列，數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大項為S₃-S₁=

1

5

+

1

9

=

14

45

，

14

45

≤

m

15

，由此求出m的最小值為5．

解答： 解：（Ⅰ）∵在等差數(shù)列{a_n}中，a₂=5，a₆=21，
∴

a1+d=5 a1+5d=21

，解得a₁=1，d=4，
∴a_n=1+（n-1）×4=4n-3．
故答案為：4n-3．
（Ⅱ）∵

1

an

=

1

4n-3

，
∴（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）
=（

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

a2n+1

）-（

1

an+2

+

1

an+3

+…+

1

a2n+3

）
=

1

an+1

-

1

a2n+2

-

1

a2n+3

=

1

4n+1

-

1

8n+5

-

1

8n+9

=（

1

8n+2

-

1

8n+5

）+（

1

8n+2

-

1

8n+9

）＞0，
∴數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是遞減數(shù)列，
數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大項為S₃-S₁=

1

5

+

1

9

=

14

45

，
∵

14

45

≤

m

15

，∴m≥

14

3

，
又∵m是正整數(shù)，
∴m的最小值為5．
故答案為：5．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查實數(shù)的最小值的求法，解題時要認真審題，注意數(shù)列的單調(diào)性的合理運用．