Question

如圖，圓O與離心率為的橢圓T：（a＞b＞0）相切于點M（0，1）．
（1）求橢圓T與圓O的方程；
（2）過點M引兩條互相垂直的兩直線l₁、l₂與兩曲線分別交于點A、C與點B、D（均不重合）．
①若P為橢圓上任一點，記點P到兩直線的距離分別為d₁、d₂，求的最大值；
②若，求l₁與l₂的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知圓的半徑等于1，橢圓的短半軸等于1，根據e=，結合a²=b²+c²求出橢圓的長半軸，則橢圓方程和圓的方程可求；
（2）①因為兩直線l₁、l₂相互垂直，所以點P到兩直線的距離d₁、d₂的平方和可轉化為P點到M點距離的平方，利用點P在橢圓上把要求的式子化為含P點縱坐標的函數，利用二次函數可求最大值；
②設出直線l₁的方程，分別和圓的方程及橢圓方程聯立A，C點的坐標，利用置換k的方法求出B，D點的坐標，分別寫出向量的坐標，代入若中求出k的值，則l₁與l₂的方程的方程可求．
解答：解：（1）由題意知：，b=1．
又a²=b²+c²，所以a²=c²+1，
聯立，解得a=2，c=
所以橢圓C的方程為．圓O的方程x²+y²=1；
（2）①設P（x，y）因為l₁⊥l₂，則，
因為，所以=，
因為-1≤y≤1，所以當時，取得最大值為，此時點．
②設l₁的方程為y=kx+1，
由，得：（k²+1）x²+2kx=0，由x_A≠0，所以，
代入y=kx+1得：．
所以．
由，得（4k²+1）x²+8kx=0，由x_C≠0，所以，
代入y=kx+1得：．
所以．
把A，C中的k置換成可得，
所以，
，
由，
得
=，
整理得：，即3k⁴-4k²-4=0，解得．
所以l₁的方程為，l₂的方程為
或l₁的方程為，l₂的方程為．
點評：本題考查了圓的標準方程，橢圓的標準方程，直線和圓錐曲線的位置關系，考查了數學轉化思想和方程思想方法，訓練了學生的計算能力，屬難題．