Question

【題目】設(shè)a＞1，函數(shù)f（x）=（1+x2）ex﹣a．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明f（x）在（﹣∞，+∞）上僅有一個零點(diǎn)；
（3）若曲線y=f（x）在點(diǎn)P處的切線與x軸平行，且在點(diǎn)M（m，n）處的切線與直線OP平行，（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），證明：m≤ ﹣1．

Answer 1

【答案】
（1）【解答】解： f′（x）=ex（x2+2x+1）=ex（x+1）2，

∴f′（x）≥0，

∴f（x）=（1+x2）ex﹣a在（﹣∞，+∞）上為增函數(shù)．

（2）證明：∵f（0）=1﹣a，a＞1，

∴1﹣a＜0，即f（0）＜0，

∵f（ ）=（1+a） ﹣a= +a（ ﹣1），a＞1，

∴ ＞1， ﹣1＞0，即f（ ）＞0，

且由（1）問知函數(shù)在（﹣∞，+∞）上為增函數(shù)，

∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一個零點(diǎn)．

（3）證明：f′（x）=ex（x+1）2，

設(shè)點(diǎn)P（x0，y0）則f'（x）=ex0（x0+1）2，

∵y=f（x）在點(diǎn)P處的切線與x軸平行，

∴f′（x0）=0，即：ex0（x0+1）2=0，

∴x0=﹣1，

將x0=﹣1代入y=f（x）得y0= ．

∴ ，

∴ ，

要證m≤ ﹣1，即證（m+1）3≤a﹣ ，

需要證（m+1）3≤em（m+1）2，

即證m+1≤em，

因此構(gòu)造函數(shù)g（m）=em﹣（m+1），

則g′（m）=em﹣1，由g′（m）=0得m=0．

當(dāng)m∈（0，+∞）時，g′（m）＞0，

當(dāng)m∈（﹣∞，0）時，g′（m）＜0，

∴g（m）的最小值為g（0）=0，

∴g（m）=em﹣（m+1）≥0，

∴em≥m+1，

∴em（m+1）2≥（m+1）3，

即： ，

∴m≤ ．

【解析】（1）利用f′（x）≥0即可得它的單調(diào)增區(qū)間。
（2）利用零點(diǎn)存在定理f（a）f（b），即可找到零點(diǎn)。
（3）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在某一點(diǎn)處對應(yīng)的切線斜率。且切線與x軸平行，可得p點(diǎn)坐標(biāo)和.同理可求M點(diǎn)處的切線。構(gòu)造新的函數(shù)g（m），利用導(dǎo)數(shù)找到它的最值。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．