設(shè)圓滿足：①截y軸所得弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為3∶1，在滿足①②的所有圓中，求圓心到直線l：x－2y=0的距離最小的圓的方程．

答案：略
解析：

思維分析：設(shè)圓心(a，b)，半徑r，然后利用平面幾何知識解決問題．

解：設(shè)圓的圓心為P(a，b)，半徑為r，則點(diǎn)P到x軸、y軸的距離分別為、．

由題設(shè)知圓P被x軸截得的劣弧所對的圓心角為,故圓P截x軸所得的弦長為，所以

．

又圓P截y軸所得的弦長為2，所以．

以上兩式聯(lián)立，消去r，得．

又點(diǎn)P(a，b)到直線l：x－2y=0的距離為

∴

≥，

當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，上式等號成立，此時(shí)，從而d取得最小值．

由此有

解得或

由得．

所以，符合題意的圓的方程為

或．

點(diǎn)撥：本題是解析幾何和代數(shù)的一個(gè)綜合題，實(shí)質(zhì)是一個(gè)條件最值問題，有機(jī)將代數(shù)和幾何聯(lián)在一起，利用圓的有關(guān)性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P是圓x2+y2=1上的動點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上的射影為Q，設(shè)滿足條件
QM
=2
QP
的點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)N（1，0）且斜率為k1（k1≠0）的直線l被曲線C所截得的弦的中點(diǎn)為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA的斜率為k2，求k12+k22的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計(jì)20分，請?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：（幾何證明選講）
如圖，從O外一點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，
AB與OP交于點(diǎn)M，設(shè)CD為過點(diǎn)M且不過圓心O的一條弦，
求證：O，C，P，D四點(diǎn)共圓．
B．選修4-2：（矩陣與變換）
已知二階矩陣M有特征值λ=3及對應(yīng)的一個(gè)特征向量e1=[
 
1
1
]，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點(diǎn)（-1，2）變換成（9，15），求矩陣M．
C．選修4-4：（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
在極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為p=2
2
sin（θ-
π
4
），以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
（t為參數(shù)），求直線l被曲線C所截得的弦長．
D．選修4-5（不等式選講）
已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+y+z=2，求2x2+3y2+z2的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知點(diǎn)P是圓x2+y2=1上的動點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上的射影為Q，設(shè)滿足條件數(shù)學(xué)公式的點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)N（1，0）且斜率為k1（k1≠0）的直線l被曲線C所截得的弦的中點(diǎn)為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA的斜率為k2，求k12+k22的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年湖北省黃岡市高考數(shù)學(xué)交流試卷3（文科）（解析版） 題型：解答題

已知點(diǎn)P是圓x2+y2=1上的動點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上的射影為Q，設(shè)滿足條件的點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)N（1，0）且斜率為k1（k1≠0）的直線l被曲線C所截得的弦的中點(diǎn)為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA的斜率為k2，求k12+k22的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年湖北省黃岡市高考數(shù)學(xué)交流試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知點(diǎn)P是圓x2+y2=1上的動點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上的射影為Q，設(shè)滿足條件的點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)N（1，0）且斜率為k1（k1≠0）的直線l被曲線C所截得的弦的中點(diǎn)為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA的斜率為k2，求k12+k22的最小值．

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