Question

已知角θ∈(0，

π

2

)，且滿足條件sinθ+cosθ=

3 +1

2

，sinθcosθ=

m

2

，
求：（Ⅰ）

sinθ

1- 1 tanθ

+

cosθ

1-tanθ

的值；
（Ⅱ）m的值與此時(shí)θ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把要求的式子切化弦可得

sinθ

sinθ-cosθ sinθ

+

cosθ

cosθ-sinθ cosθ

，同分可得

sin2θ-cos2θ

sinθ-cosθ

=sinθ+cosθ，由
已知條件得到結(jié)果．
（Ⅱ）把sinθ+cosθ=

3 +1

2

  平方可得 sinθ cosθ  的值，由此求得 m 的值，根據(jù) sinθ 和 cosθ  一個(gè)等于

3

2

，另一個(gè)等于

1

2

，求出θ 的值等．

解答：解：（Ⅰ）

sinθ

1- 1 tanθ

+

cosθ

1-tanθ

=

sinθ

sinθ-cosθ sinθ

+

cosθ

cosθ-sinθ cosθ

=

sin2θ

sinθ-cosθ

-

cos2θ

cosθ-sinθ

 
=

sin2θ-cos2θ

sinθ-cosθ

=sinθ+cosθ=

3 +1

2

．
（Ⅱ）把sinθ+cosθ=

3 +1

2

  平方可得 1+2sinθ cosθ=

4+2 3

4

，∴sinθ cosθ=

3

4

，
∴

m

2

=

3

4

，∴m=

3

2

．  此時(shí)，sinθ 和 cosθ  一個(gè)等于

3

2

，另一個(gè)等于

1

2

，
故θ 的值等于

π

6

 或

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，得到sinθ 和 cosθ  一個(gè)等于

3

2

，另一個(gè)等于

1

2

，是解題的關(guān)鍵．