Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c．己知csin A=

3

acos C．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c=

7

，且sinC+sin（B-A）=3sin2A，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（I）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式，可得sinC=

3

cos C，結(jié)合C是三角形的內(nèi)角，得出C=60°；
（II）利用三角函數(shù)間的關(guān)系將條件轉(zhuǎn)化為：sinBcosA=3sinAcosA．再分兩種情況cosA=0與cosA≠0討論，利用正余弦定理，結(jié)合解方程組與三角形的面積公式，即可求得△ABC的面積．

解答：解：（I）∵csin A=

3

acos C，∴由正弦定理，得sinCsin A=

3

sinAcos C
結(jié)合sinA＞0，可得sinC=

3

cos C，得tanC=

3

∵C是三角形的內(nèi)角，∴C=60°；
（II）∵sinC+sin（B-A）=sin（B+A）+sin（B-A）=2sinBcosA，
而3sin2A=6sinAcosA
∴由sinC+sin（B-A）=3sin2A，得sinBcosA=3sinAcosA
當(dāng)cosA=0時(shí)，∠A=

π

2

，可得b=

c

tanC

=

21

3

，
可得三角△ABC的面積S=

1

2

bc=

7 3

6

當(dāng)cosA≠0時(shí)，得sinB=3sinA，由正弦定理得b=3a…①，
∵c=

7

，∠C=60°，c²=a²+b²-2abcosC
∴a²+b²-ab=7…②，
聯(lián)解①①得a=1，b=3，
∴△ABC的面積S=

1

2

absinC=

1

2

×1×3×sin60°=

3 3

4

．
綜上所述，△ABC的面積等于

7 3

6

或

3 3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了三角恒等變換、利用正弦定理和余弦定理解三角形和三角形的面積公式等知識(shí)，屬于中檔題．