Question

已知：函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，f（2）=4
（1）符合上述條件的函數(shù)f（x）有多少個？
（2）寫出三個符合上述條件的函數(shù)；
（3）是否存在滿足上述條件的形式為的函數(shù)？如果存在，求出這樣的函數(shù)，并求出該函數(shù)的值域；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）上只知道兩點，故函數(shù)不能確定，符合上述條件的函數(shù)f（x）有無數(shù)個；
（2）若f（x）為一次函數(shù)，可由兩點式直接寫出直線方程即f（x）=3x-2，
若f（x）為二次方程，設f（x）=ax²+bx+c，由條件，
得3a+b=3，a、b取一些特值即可．如：f（x）=x²，f（x）=2x²-3x+2等．
（3）假設存在，則，解得，故
令，則x=，則原函數(shù)變?yōu)閥=
當時，函數(shù)有最小值
所以函數(shù)的值域為[，+∞）
分析：（1）函數(shù)f（x）上只知道兩點，故函數(shù)不能確定，顯然有無數(shù)多個．
（2）可舉比較熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)等，用待定系數(shù)法求解．
（3）假設滿足條件的函數(shù)存在，代入f（1）=1，f（2）=4可得關于a和b的方程，求解即可．
點評：本題考查待定系數(shù)法求解析式、函數(shù)的值域問題的求解，考查換元法解題．