Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-a|，x∈[0，1]，該函數(shù)的最大值是

a2

4

，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：分類討論：：（1）若a≤0，可得最大值為f（1）=1-a=

a2

4

，解方程驗(yàn)證可得a值；（2）若0＜a≤1，可得函數(shù)的最大值為f（

a

2

）=

a2

4

，符合題意；（3）當(dāng)a＞1時，再分a≤2和a＞2討論可得a的范圍，綜合可得．

解答： 解：（1）若a≤0，則當(dāng)x∈[0，1]時，去絕對值可得f（x）=x（x-a），
可得f（x）在x∈[0，1]單調(diào)遞增，故最大值為f（1）=1-a=

a2

4

，
解得a=-2-2

2

，或-2+2

2

，∵a≤0，∴a=-2-2

2

；
（2）若0＜a≤1，則當(dāng)x∈[0，a]時，f（x）=-x（x-a），
當(dāng)x∈（a，1]時，f（x）=x（x-a），
f（

a

2

）=

a2

4

，f（1）=1-a，結(jié)合0＜a≤1可得

a2

4

＞1-a，
∴函數(shù)的最大值為f（

a

2

）=

a2

4

，符合題意；
（3）若a＞1，則當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=-x（x-a），當(dāng)a≤2時，
函數(shù)最大值為f（

a

2

）=

a2

4

，符合題意，
當(dāng)a＞2時，最大值為f（1）=1-a，不符合題意．
綜上可得a的取值范圍為：a=-2-2

2

，或0＜a≤2

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的值域和最值，涉及分類討論的思想及二次函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬中檔題．