已知向量
m
=(
3
cosx,cosx),
n
=(sinx,-cosx),函數(shù)f(x)=
m
n

(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在△ABC中,∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c,若ccosB+bcosC=2acosB,求f(A)的取值范圍.
考點:平面向量數(shù)量積的運算,正弦定理
專題:計算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形
分析:(1)運用平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式,二倍角的正弦和余弦公式,兩角差的正弦公式,以及正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間,解不等式,即可得到;
(2)運用正弦定理,可得B,再由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),即可得到范圍.
解答: 解:(1)函數(shù)f(x)=
m
n
=
3
sinxcosx-cos2x
=
3
2
sin2x-
1+cos2x
2
=sin(2x-
π
6
)-
1
2
,
令2kπ-
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
π
2
,k∈Z,
解得kπ-
π
6
≤x≤kπ+
π
3
,
則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-
π
6
,kπ+
π
3
],k∈Z;
(2)由于ccosB+bcosC=2acosB,
則sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosB
即有sin(B+C)=2sinAcosB,則sinA=2sinAcosB,
cosB=
1
2
,即有B=
π
3
,A+C=
3
,
則f(A)=sin(2A-
π
6
)-
1
2

由于0<A<
3
,則-
π
6
<2A-
π
6
6
,
-
1
2
<sin(2A-
π
6
)≤1,即有-1<f(A)
1
2

則f(A)的取值范圍是(-1,
1
2
].
點評:本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式,考查三角函數(shù)的化簡和求值及正弦定理的運用,考查正弦函數(shù)的單調(diào)性及運用,考查運算能力,屬于中檔題.
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lim
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x
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