Question

橢圓C的中心為坐標原點O，焦點在y軸上，離心率，橢圓上的點到焦點的最短距離為1-e，直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A、B，且．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設橢圓C的方程為：（a＞b＞0），由c＞0，c²=a²-b²，且a-c=1-，e==，可得a=1，b=c=；則橢圓C的方程可求．
（2）由=λ，得-=λ（-），即（1+λ）=+λ，∴1+λ=4，得λ的值；設l與橢圓的交點為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由，得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0，∴△＞0，且x₁+x₂=，x₁x₂=；由=3，得-x₁=3x₂，∴，即3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，
∴3+4=0，即4k²m²+2m²-k²-2=0，所以m²=時，上式不成立；m²≠時，k²=，由λ的值，知斜率k≠0，得k²＞0，從而得m的取值范圍．
解答：解：如圖所示，
（1）設橢圓C的方程為：（a＞b＞0），且c＞0，c²=a²-b²；
由題意a-c=1-，=，∴a=1，b=c=；∴C的方程為y²+2x²=1；
（2）由=λ，得-=λ（-），∴（1+λ）=+λ，∴1+λ=4，即λ=3；
設l與橢圓的交點為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由，得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0，
∴△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0，∴x₁+x₂=，x₁x₂=；
由=3，得-x₁=3x₂，∴，整理得3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，
即3+4=0，整理得4k²m²+2m²-k²-2=0①，
當m²=時，①式不成立；m²≠時，有k²=，由λ=3，知k≠0，
∴k²=＞0，∴-1＜m＜-或＜m＜1，符合△＞0，
∴m∈（-1，-）∪（，1）．
點評：本題以平面向量為工具，考查了直線與橢圓方程的綜合應用，以及根與系數(shù)的關系式在圓錐曲線中的應用問題．