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橢圓C的中心為坐標原點O,焦點在y軸上,短軸長為
2
、離心率為
2
2
,直線l與y軸交于點P(0,m),與橢圓C交于相異兩點A、B,且
AP
=3
PB

(I)求橢圓方程;
(II)求m的取值范圍.
分析:(1)先設橢圓的標準方程,根據短軸長為
2
、離心率為
2
2
可求出a,b,c的值,從而得到答案.
(2)先設l與橢圓C交點為A、B的坐標,然后聯立直線和橢圓方程消去y,得到關于x的一元二次方程,進而得到兩根之和、兩根之積,再表示出
AP
=3
PB
再將兩根之和、兩根之積代入可得(
-2km
k2+2
)
2
+4
m2-1
k2+2
=0
,整理可得k2=
2-2m2
4m2-1
>0解出m的范圍.
解答:解:(I)設C:
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0),設c>0,c2=a2-b2,
由條件知2b=
2
,
c
a
=
2
2
,
∴a=1,b=c=
2
2

故C的方程為:y2+
x2
1
2
=1

(II)設l與橢圓C交點為A(x1,y1),B(x2,y2
y=kx+m
2x2+y2=1
得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0
得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0
△=(2km)2-4(k2+2)(m2-1)=4(k2-2m2+2)>0(*)
x1+x2=
-2km
k2+2
,x1x2=
m2-1
k2+2

AP
=3
PB
∴-x1=3x2
x1+x2=-2x2
x1x2=-3
x
2
2

得3(x1+x22+4x1x2=0,
∴3(
-2km
k2+2
)
2
+4
m2-1
k2+2
=0

整理得4k2m2+2m2-k2-2=0
m2=
1
4
時,上式不成立;m2
1
4
時,k2=
2-2m2
4m2-1
,
由(*)式得k2>2m2-2
因k≠0∴k2=
2-2m2
4m2-1
>0,
∴-1<m<-
1
2
1
2
<m<1
即所求m的取值范圍為(-1,-
1
2
)∪(
1
2
,1).
點評:本題主要考查橢圓的標準方程、基本性質和直線與橢圓的綜合問題.直線和圓錐曲線的綜合題是高考的重點題目,要強化學習.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓C的中心為坐標原點O,一個長軸端點為(0,1),短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形,若直線l與y軸交于點P(0,m),與橢圓C交于不同的兩點A、B,且
AP
=3
PB

(Ⅰ)求橢圓C的離心率及其標準方程;
(Ⅱ)求實數m的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

橢圓C的中心為坐標原點O,焦點在y軸上,離心率e=
2
2
,橢圓上的點到焦點的最短距離為1-
2
2
,直線l與y軸交于點P(0,m),與橢圓C交于相異兩點A、B,且
AP
PB

(1)求橢圓方程;
(2)若
OA
OB
=4
OP
,求m的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

橢圓C的中心為坐標原點O,焦點在y軸上,離心率e=
2
2
,橢圓上的點到焦點的最短距離為1-e,直線l與y軸交于點P(0,m),與橢圓C交于相異兩點A、B,且
AP
PB

(1)求橢圓C的方程;
(2)若
OA
OB
=4
OP
,求m的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓C的中心為坐標原點O,一個長軸端點為(0,2),短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形,直線l與y軸交于點P(0,m),與橢圓C交于相異兩點A、B,且
AP
=2
PB

(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)求m的取值范圍.

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