Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）e^x-kx²（其中k∈R）．
（1）當(dāng)k=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）當(dāng)k∈[0，+∞）時，判斷函數(shù)f（x）在R上的零點個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)零點的判定定理

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)k=1時，f（x）=（x-1）e^x-x²，f′（x）=xe^x-2x=x（e^x-2），令f′（x）=0，解得x=0或ln2．列表研究函數(shù)的單調(diào)性極值即可．
（2）f′（x）=x（e^x-2k），當(dāng)x＜1時，f（x）＜0，因此函數(shù)f（x）在（-∞，1）上無零點．
下面判定函數(shù)f（x）在[1，+∞）上零點的個數(shù)．分類討論：k∈[0，

e

2

]，k∈(

e

2

，+∞)時，通過當(dāng)時研究函數(shù)的單調(diào)性極值即可得出．

解答： 解：（1）當(dāng)k=1時，f（x）=（x-1）e^x-x²，
f′（x）=xe^x-2x=x（e^x-2），
令f′（x）=0，解得x=0或ln2．列表如下：

x	（-∞，0）	0	（0，ln2）	ln2	（ln2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由表格可知：函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0），（ln2，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（0，ln2）．
極大值為f（0）=-1，極小值為f（ln2）=-ln²2+2（ln2-1）．
（2）f′（x）=x（e^x-2k），當(dāng)x＜1時，f（x）＜0，因此函數(shù)f（x）在（-∞，1）上無零點．
下面判定函數(shù)f（x）在[1，+∞）上零點的個數(shù)．
①若k∈[0，

e

2

]，則當(dāng)x≥1時，f′（x）≥0，函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，且f（1）=-k≤0，f（2）=e²-4k＞0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2）內(nèi)由一個零點，且在[1，+∞）上也只有這個零點．
②當(dāng)k∈(

e

2

，+∞)時，函數(shù)f（x）在[1，ln2k）上單調(diào)遞減，在（ln2k，+∞）上單調(diào)遞增．
f（1）=-k＜0，f（k+1）=ke^k+1-k（k+1）²=k（e^k+1-（k+1）²），
令g（t）=e^t-t²，t=k+1＞

e

2

+1．
g′（t）=e^t-2t，g^″（t）=e^t-2，
∵t＞2，∴g^″（t）＞0，∴g′（t）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，∴g′（t）≥g′（2）=e²-4＞0，
∴g（t）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，g（t）≥g（2）=e²-4＞0，
∴f（k+1）＞0．
∴函數(shù)f（x）在[1，+∞）上只有一個零點．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、討論函數(shù)零點的個數(shù)，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．