試題分析:(Ⅰ)當AB⊥x軸時,點A、B關于x軸對稱,所以m=0,直線AB的方程為: x =1,從而點A的坐標為(1,
)或(1,-
). 因為點A在拋物線上.所以
,即
.此時C
2的焦點坐標為(
,0),該焦點不在直線AB上.
(II): 假設存在
、
的值使
的焦點恰在直線AB上,由(I)知直線AB的斜率存在,故可設直線AB的方程為
.
由
消去
得
…①
設A、B的坐標分別為(x
1,y
1), (x
2,y
2),
則x
1,x
2是方程①的兩根,x
1+x
2=
.
由
消去y得
. ………………②
因為C
2的焦點
在直線
上,
所以
,即
.代入②有
.
即
. …………………③
由于x
1,x
2也是方程③的兩根,所以x
1+x
2=
.
從而
=
. 解得
……………………④
又AB過C
1,C
2的焦點,所以
,
則
…………………………………⑤
由④、⑤式得
,即
.
解得
于是
因為C
2的焦點
在直線
上,所以
.
或
.
由上知,滿足條件的
、
存在,且
或
,
.
點評:中檔題,曲線關系問題,往往通過聯(lián)立方程組,得到一元二次方程,運用韋達定理。本題解答過程中,主要運用了拋物線的幾何性質。結合拋物線的焦半徑公式,建立了k的方程。