Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[-1，0]時，函數(shù)的解析式為f（x）=

1

4x

-

a

2x

（a∈R）．
（1）求出f（x）在[0，1]上的解析式；
（2）求f（x）在[-1，0]上的最大值．
（3）對任意的x₁，x₂∈[-1，1]都有|f（x₁）-f（x₂）|≤M成立，求最小的整數(shù)M的值．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先設(shè)x∈[0，1]，則-x∈[-1，0]，然后結(jié)合已知的解析式、奇函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；
（2）根據(jù)函數(shù)的特點，可采用配方法結(jié)合自變量的取值范圍解決問題；
（3）因為是不等式恒成立問題，所以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解．

解答： 解：（1）因為f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，
所以f（0）=1-a=0，所以a=1；
當(dāng)x∈[0，1]時，則-x∈[-1，0]，所以f（x）=-f（-x）=-(

1

4-x

-

1

2-x

)，
化簡得f（x）=2^x-4^x．x∈[0，1]．
（2）由（1）知，x∈[0，1]時，f(x)=2x-4x=-(2x-

1

2

)2+

1

4

，其中2^x∈[1，2]，
所以當(dāng)2^x=1時，f_max（x）=0；2^x=2時，f_min（x）=-2，
根據(jù)對稱性可知f（x）在[-1，0]上的最大值為2．
（3）因為f（x）為[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（0）=0，結(jié)合（2）可知，該函數(shù)在定義域[-1，1]上的最大值為2，最小值為-2，
|f（x₁）-f（x₂）|≤f_max（x）-f_min（x）=4，所以M=4

點評：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及函數(shù)的最值問題；同時，涉及到不等式恒成立的問題一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解．