Question

A、B、C為△ABC內(nèi)角，R為△ABC外接圓半徑，r為△ABC內(nèi)切圓半徑．
（1）求證：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC（A，B，C≠

π

2

）；
（2）求證：2Rr=

abc

a+b+c

．

Answer 1

考點：兩角和與差的正切函數(shù),三角形的面積公式

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）根據(jù)內(nèi)角和定理得A+B=π-C，代入兩角和的正切公式化簡即可；
（2）利用等面積法列出等式，再由

c

sinC

=2R得到sinC，代入化簡即可．

解答： 證明：（1）由A+B+C=π，得A+B=π-C，
則tan(A+B)=-tanC=

tanA+tanB

1-tanAtanB

，
化簡得，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；
（2）由題意得，r為△ABC內(nèi)切圓半徑
則S△ABC=

1

2

absinC=

1

2

r(a+b+c)，
又

c

sinC

=2R，得sinC=

c

2R

，代入上式得

1

2

ab

c

2R

=

1

2

r(a+b+c)，
化簡得，2Rr=

abc

a+b+c

．

點評：本題考查兩角和的正切公式，內(nèi)角和定理，以及等面積法的應(yīng)用，屬于中檔題．