Question

如圖，△ABC 為正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中點，

求證：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；

（3）平面DEA ⊥平面ECA。

Answer 1

證明：（1）如圖，取EC 中點F ，連結(jié)DF。

∵  EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，得DB ⊥平面ABC 。

∴  DB ⊥AB，EC ⊥BC。

∵  BD ∥CE ，BD ＝CE ＝FC ，

則四邊形FCBD 是矩形，DF ⊥EC。

又BA ＝BC ＝DF ，∴  Rt△DEF ≌Rt△ABD ，所以DE ＝DA。

（2）取AC 中點N ，連結(jié)MN 、NB ，

∵  M 是EA 的中點，∴  MN EC。

由BD EC ，且BD ⊥平面ABC ，可得四邊形MNBD 是矩形，于是DM ⊥MN。

∵  DE ＝DA ，M 是EA 的中點，∴  DM ⊥EA ．又EA MN ＝M ，

∴  DM ⊥平面ECA ，而DM 平面BDM ，則平面ECA ⊥平面BDM。

（3）∵  DM ⊥平面ECA ，DM 平面DEA ，

∴  平面DEA ⊥平面ECA。