Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長是2，D是側棱CC₁的中點，平面ABD和平面A₁B₁C的交線為MN．
（Ⅰ）試證明AB∥MN；
（Ⅱ）若直線AD與側面BB₁C₁C所成的角為45°，試求二面角A-BD-C的大小．

Answer 1

分析：（1）要證線線平行，可先證線面平行，再根據(jù)線面平行的性質(zhì)，證明線線平行；
（2）求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角，再利用解三角形的辦法解答．

解答：證明：（Ⅰ）由題意AB∥A₁B₁，
又A₁B₁?平面CA₁B₁，AB∉平面CCA₁B₁，∴AB∥平面CA₁B₁
又AB?平面DAB，平面DAB∩平面CA₁B₁=MN，∴AB∥MN

（Ⅱ）取BC中點E，連AE，過E作EF⊥BD于F，連AF．
∵△ABC是正三角形，∴AE⊥BC．
又底面ABC⊥側面BB₁C₁C，且交線為BC
∴AE⊥側面BB₁C₁C
又EF⊥BD，AF⊥BD
∴∠AFE為二面角A-BD-C的平面角
連ED，則直線AD與側面BB₁C₁C所成的角為∠ADE=45°．
設正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱長為x．則在Rt△AED中，
tan45°=

AE

ED

=

3

1+ x2 4

解得x=2

2

．
此正三棱柱的側棱長為2

2

在Rt△BEF中，EF=BEsin∠EBF，又BE=1，sin∠EBF=

CD

BD

=

3

3

，
EF=

3

3

．又AE=

3

∴在Rt△AEF中，tan∠AFE=

AE

EF

=3．
故二面角A-BD-C的大小為arctan3

點評：（1）對于已知條件中出現(xiàn)了（或容易證明）有關的面面平行的問題，往往就要緊緊圍繞著面面平行的性質(zhì)，從而得到線線（或線面）平行，從而將問題解決．
（2）求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此題是利用二面角的平面角的定義作出∠AFE為二面角A-BD-C的平面角，通過解∠AFE所在的三角形求得∠AFE．其解題過程為：作∠AFE→證∠AFE是二面角的平面角→計算∠AFE，簡記為“作、證、算”．