Question

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，H分別是棱A₁B₁，D₁C₁上的點(diǎn)（點(diǎn)E與B₁不重合），且EH∥A₁D₁，過EH的平面與棱BB₁，CC₁相交，交點(diǎn)分別為F，G．設(shè)AB=2AA₁=2a，EF=a，B₁E=B₁F．在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自于幾何體A₁ABFE-D₁DCGH內(nèi)的概率為（　�。�

• A、

  11

  16

• B、

  3

  4

• C、

  13

  16

• D、

  7

  8

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：求出對(duì)應(yīng)區(qū)域的體積，利用幾何概型的概率公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵EH∥A₁D₁，過EH的平面與棱BB₁，CC₁相交，交點(diǎn)分別為F，G．
∴FG∥EH，
即幾何體B₁FE-C₁GH是三棱柱，
∵AB=2AA₁=2a，EF=a，B₁E=B₁F．
∴△B₁FE為等腰直角三角形，
且B₁E=B₁F=

2

2

a，
則三棱柱B₁FE-C₁GH的體積V=

1

2

×(

2

2

a)2×B1C1=

B1C1

4

•a2，
長(zhǎng)方體的體積V=2a•a•B₁C₁=2a²•B₁C₁，
則幾何體A₁ABFE-D₁DCGH的體積V₁=2a²•B₁C₁-

1

4

a²•B₁C₁=

7

4

a²•B₁C₁，
則根據(jù)幾何概型的概率公式可得在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自于幾何體A₁ABFE-D₁DCGH內(nèi)的概率
P=

V1

V長(zhǎng)方體

=

7 4 a2•B1C1

2a2B1C1

=

7

8

，
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何概型的概率計(jì)算以及空間幾何體的體積計(jì)算，根據(jù)條件求出對(duì)應(yīng)的幾何體的體積是解決本題的關(guān)鍵．