【題目】某個實心零部件的形狀是如圖所示的幾何體,其下部是底面均是正方形,側面是全等的等腰梯形的四棱臺A1B1C1D1﹣ABCD,其上是一個底面與四棱臺的上底面重合,側面是全等的矩形的四棱柱ABCD﹣A2B2C2D2 .
(1)證明:直線B1D1⊥平面ACC2A2;
(2)現需要對該零部件表面進行防腐處理,已知AB=10,A1B1=20,AA2=30,AA1=13(單位:厘米),每平方厘米的加工處理費為0.20元,需加工處理費多少元?
【答案】
(1)解:∵四棱柱ABCD﹣A2B2C2D2的側面是全等的矩形,
∴AA2⊥AB,AA2⊥AD,又AB∩AD=A,
∴AA2⊥平面ABCD.連接BD,
∵BD平面ABCD,
∴AA2⊥BD,又底面ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,根據棱臺的定義可知,BD與B1D1共面,
又平面ABCD∥平面A1B1C1D1,且平面BB1D1D∩平面ABCD=BD,平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1=B1D1,
∴B1D1∥BD,于是由AA2⊥BD,AC⊥BD,B1D1∥BD,可得AA2⊥B1D1,AC⊥B1D1,又AA2∩AC=A,
∴B1D1⊥平面ACC2A2
(2)解:∵四棱柱ABCD﹣A2B2C2D2的底面是正方形,側面是全等的矩形,
∴S1=S四棱柱下底面+S四棱柱側面
= +4ABAA2
=102+4×10×30
=1300(cm2)
又∵四棱臺A1B1C1D1﹣ABCD上下底面均是正方形,側面是全等的等腰梯形,
∴S2=S四棱柱下底面+S四棱臺側面
= +4× (AB+A1B1)h等腰梯形的高
=202+4× (10+20)
=1120(cm2),
于是該實心零部件的表面積S=S1+S2=1300+1120=2420(cm2),
故所需加工處理費0.2S=0.2×2420=484元.
【解析】(1)依題意易證AC⊥B1D1 , AA2⊥B1D1 , 由線面垂直的判定定理可證直線B1D1⊥平面ACC2A2;(2)需計算上面四棱柱ABCD﹣A2B2C2D2的表面積(除去下底面的面積)S1 , 四棱臺A1B1C1D1﹣ABCD的表面積(除去下底面的面積)S2即可.
【考點精析】認真審題,首先需要了解直線與平面垂直的判定(一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想).
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【題目】將函數y=sin(x﹣ )圖象上所有的點( ),可以得到函數y=sin(x+ )的圖象.
A.向左平移 單位?
B.向右平移 單位
C.向左平移 單位?
D.向右平移 單位
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【題目】選修4-4:極坐標系與參數方程
在直角坐標系xOy中,曲線M的參數方程為 (α為參數),若以直角坐標系中的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線N的極坐標方程為 (t為參數).
(1)求曲線M的普通方程和曲線N的直角坐標方程;
(2)若曲線N與曲線M有公共點,求t的取值范圍.
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【題目】已知函數 . (Ⅰ)當m=8時,求f(﹣4)的值;
(Ⅱ)當m=8且x∈[﹣8,8]時,求|f(x)|的最大值;
(Ⅲ)對任意的實數m∈[0,2],都存在一個最大的正數K(m),使得當x∈[0,K(m)]時,不等式|f(x)|≤2恒成立,求K(m)的最大值以及此時相應的m的值.
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【題目】已知二次函數,關于實數的不等式的解集為.
(1)當時,解關于的不等式:;
(2)是否存在實數,使得關于的函數()的最小值為?若存在,求實數的值;若不存在,說明理由.
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【題目】某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費,需了解年宣傳費(單位:千元)對年銷售量(單位: )和年利潤(單位:千元)的影響.對近8年的年宣傳費和年銷售量數據作了初步處理,得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.
表中.
(1)根據散點圖判斷與哪一個適宜作為年銷售量關于年宣傳費的回歸類型?(給出判斷即可,不必說明理由)
(2)根據(1)的判斷結果及表中數據,建立關于的回歸方程;
(3)已知這種產品的利潤與的的關系為.根據(2)的結果回答下列問題:
(。┠晷麄髻M時,年銷售量及年利潤的預報值是多少?
(ⅱ)年宣傳費為何值時,年利潤的預報值最大?
附:對于一組數據,其回歸直線的的斜率和截距的最小二乘估計為.
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【題目】在圓x2+y2=9上任取一點P,過點P作y軸的垂線段PD,D為垂足,當P為圓與y軸交點時,P與D重合,動點M滿足 =2 ;
(1)求點M的軌跡C的方程;
(2)拋物線C′的頂點在坐標原點,并以曲線C在y軸正半軸上的頂點為焦點,直線y=x+3與拋物線C′交于A、B兩點,求線段AB的長.
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【題目】已知數列{an}是首項為正數的等差數列,a1a2=3,a2a3=5.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)設bn=(an+1)2 ,求數列{bn}的前n項和Tn .
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