Question

【題目】（選修4-4：坐標系與參數方程）

已知圓的參數方程為（，為參數），將圓上所有點的橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變得到曲線；以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（1）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標方程；

（2）設為曲線上的動點，求點與曲線上點的距離的最小值，并求此時點的坐標．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的普通方程為；的直角坐標方程為；（Ⅱ），此時點．

【解析】

試題（1）根據伸縮變換公式可得的參數方程，消參可得普通方程．將先按兩角和差公式展開，根據公式可將其化簡為直角坐標方程．（2）根據的參數方程可設，由點到線的距離公式可求得點到的距離．用化一公式將其化簡可求得的最值，同時可得點的坐標．

試題解析：解：（Ⅰ）由已知曲線的參數方程為為參數），

則的普通方程為；

由：，

由互化公式得的直角坐標方程為．

（Ⅱ）設點到直線：的距離為，

當，即時，

，此時點．