【題目】（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）

已知圓的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），將圓上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變得到曲線；以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．

（1）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)與曲線上點(diǎn)的距離的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】（Ⅰ）的普通方程為；的直角坐標(biāo)方程為；（Ⅱ），此時(shí)點(diǎn)．

【解析】

試題（1）根據(jù)伸縮變換公式可得的參數(shù)方程，消參可得普通方程．將先按兩角和差公式展開，根據(jù)公式可將其化簡(jiǎn)為直角坐標(biāo)方程．（2）根據(jù)的參數(shù)方程可設(shè)，由點(diǎn)到線的距離公式可求得點(diǎn)到的距離．用化一公式將其化簡(jiǎn)可求得的最值，同時(shí)可得點(diǎn)的坐標(biāo)．

試題解析：解：（Ⅰ）由已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），

則的普通方程為；

由：，

由互化公式得的直角坐標(biāo)方程為．

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)到直線：的距離為，

當(dāng)，即時(shí)，

，此時(shí)點(diǎn)．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖，已知四棱錐的底面為菱形，且，是中點(diǎn)．

（1）證明：平面；

（2）若，，求三棱錐的體積．

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【題目】動(dòng)點(diǎn)到距離與到直線的距離之比為，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.

（1）求出曲線的方程，并求出的最小值，其中點(diǎn)

（2）是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，且直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn)，使得，若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)）.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)的兩個(gè)極值點(diǎn)，（）恰為的零點(diǎn)，求的最小值.

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【題目】某學(xué)校為了了解該校某年級(jí)學(xué)生的閱讀量（分鐘），隨機(jī)抽取了n名學(xué)生，調(diào)查他們一天的閱讀時(shí)間，統(tǒng)計(jì)結(jié)果下圖表所示：

組號(hào)

分組

男生

人數(shù)

男生人數(shù)占本

組人數(shù)的頻率

頻率分布直方圖

第1組

5

0.5

第2組

18

0.9

第3組

24

0.8

第4組

0.4

第5組

3

0.2

（1）求出與的值；

（2）—天的閱時(shí)間不少于35分鐘稱為“喜好閱讀者”.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并回答能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為“喜好閱讀者”與“性別”有關(guān)？

喜好閱讀者

非喜好閱讀者

合計(jì)

男生

女生

合計(jì)

附：（其中為樣本容量）.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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【題目】已知函數(shù)，

(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性

(2)當(dāng)時(shí)，，對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

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【題目】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著,它在幾何學(xué)中的研究比西方早1000多年,在《九章算術(shù)》中,將底面為直角三角形,且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵(qian du);陽(yáng)馬指底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐,鱉膈(bie nao)指四個(gè)面均為直角三角形的四面體.如圖在塹堵中,.

(1)求證:四棱錐為陽(yáng)馬;

(2)若,當(dāng)鱉膈體積最大時(shí),求銳二面角的余弦值.

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【題目】“中國(guó)人均讀書4.3本（包括網(wǎng)絡(luò)文學(xué)和教科書），比韓國(guó)的11本、法國(guó)的20本、日本的40本、猶太人的64本少得多，是世界上人均讀書最少的國(guó)家.”這個(gè)論斷被各種媒體反復(fù)引用，出現(xiàn)這樣的統(tǒng)計(jì)結(jié)果無(wú)疑是令人尷尬的，而且和其他國(guó)家相比，我國(guó)國(guó)民的閱讀量如此之低，也和我國(guó)是傳統(tǒng)的文明古國(guó)、禮儀之邦的地位不相符.某小區(qū)為了提高小區(qū)內(nèi)人員的讀書興趣，特舉辦讀書活動(dòng)，準(zhǔn)備進(jìn)一定量的書籍豐富小區(qū)圖書站，由于不同年齡段需看不同類型的書籍，為了合理配備資源，現(xiàn)對(duì)小區(qū)內(nèi)看書人員進(jìn)行年齡調(diào)查，隨機(jī)抽取了一天40名讀書者進(jìn)行調(diào)查，將他們的年齡分成6段： ， ， ， ， ， 后得到如圖所示的頻率分布直方圖.問(wèn)：

（1）估計(jì)在40名讀書者中年齡分布在的人數(shù)；

（2）求40名讀書者年齡的平均數(shù)和中位數(shù)；

（3）若從年齡在的讀書者中任取2名，求這兩名讀書者年齡在的人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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（1）求橢圓C1與拋物線的方程；

（2）已知直線是圓的一條切線，與橢圓C1交于兩點(diǎn)，若直線斜率存在且不為，在橢圓C1上存在點(diǎn)，使，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

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