Question

12．學校要組織一次田徑暨游藝運動會．為了測試該運動的受歡迎程度，全校從6000名學生（其中男生2800名）按性別進行了分層抽樣調(diào)查，抽查到的男生有140人．
（1）抽查到的女生有多少名；
（2）將抽查的情況進行統(tǒng)計得下表：

	喜愛	不太喜愛	總計
男生	100	40
女生		100
總計

請將上表填寫完整．并由此說明是否有99.9%的把握認為“喜愛該活動”與性別有關(guān)？
附表：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

（3）高一四個班組成四個隊，分別選擇“搭橋過河”，“推球”，“跳大繩”三個游藝項目，且每個隊的選擇相互獨立，設選“搭橋過河”的隊數(shù)為X，試求X的分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）由男生抽到人數(shù)先求出抽樣比，由此利用分層抽樣性質(zhì)，能求出抽查到的女生人數(shù)．
（2）抽查的情況列出關(guān)聯(lián)表，求出K²≈35＞10.828，從而得到有99.9%的把握認為“喜愛該活動”與性別有關(guān)．
（3）由題意知X的可能取值為0，1，2，3，4，且X～B（4，$\frac{1}{3}$），由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）∵全校從6000名學生（其中男生2800名）按性別進行了分層抽樣調(diào)查，抽查到的男生有140人，
∴抽查到的女生有：$（6000-2800）×\frac{140}{2800}$=160（人）．
（2）抽查的情況列出關(guān)聯(lián)表為：

	喜愛玩該游戲	不太喜愛玩該游戲	合計
男生	100	40	140
女生	60	100	160
合計	160	140	300

∴${K}^{2}=\frac{300（100×100-40×60）^{2}}{140×160×160×140}$≈35＞10.828，
∴有99.9%的把握認為“喜愛該活動”與性別有關(guān)．
（3）由題意知X的可能取值為0，1，2，3，4，且X～B（4，$\frac{1}{3}$），
P（X=0）=${C}_{4}^{0}（\frac{2}{3}）^{4}$=$\frac{16}{81}$，
P（X=1）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{32}{81}$，
P（X=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{24}{81}$，
P（X=3）=${C}_{4}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}（\frac{2}{3}）$=$\frac{8}{81}$，
P（X=4）=${C}_{4}^{4}（\frac{1}{3}）^{4}$=$\frac{1}{81}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{16}{81}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{24}{81}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{1}{81}$

∴EX=$4×\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$．

點評 本題考查分層抽樣的應用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意二項分布的性質(zhì)的合理運用．