Question

直線(xiàn)l：（m+1）x+2y-4m-4=0（m∈R）恒過(guò)定點(diǎn)C，圓C是以點(diǎn)C為圓心，以4為半徑的圓．
（1）求圓C的方程；
（2）設(shè)圓M的方程為（x-4-7cosθ）²+（y-7sinθ）²=1，過(guò)點(diǎn)M上任意一點(diǎn)P分別作圓C的兩條切線(xiàn)PE、PF，切點(diǎn)為E、F，求的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求直線(xiàn)系過(guò)的定點(diǎn)，可求圓的方程．
（2）設(shè)出∠ECF，求數(shù)量積的表達(dá)式，然后求PC的范圍，結(jié)合數(shù)量積，求其最值．
解答：解：（1）直線(xiàn)l：（m+1）x+2y-4m-4=0（m∈R）恒過(guò)定點(diǎn)C（4，0），半徑為4，圓C的方程：（x-4）²+y²=16．
（2）設(shè)∠ECF=2α
則==16COS2α=32cos^2_α-16，
在 Rt△PCE中，
由圓的幾何性質(zhì)得|MC|-1≤|PC|≤|MC|+1，
∴6≤|PC|≤8
∴，由此可得-8，
∴的最大值為-最小值為-8．
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線(xiàn)系過(guò)定點(diǎn)，考查轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，是難題．