Question

點(diǎn)M與定點(diǎn)F（2，0）的距離和它到直線x=8的距離之比是1：2．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程（寫成標(biāo)準(zhǔn)方程形式）；
（2）設(shè)點(diǎn)M的軌跡與x軸相交于A₁、A₂兩點(diǎn)，P是直線x=8上的動點(diǎn)，求∠A₁PA₂的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)M（x，y）是軌跡上任意一點(diǎn)，依題意

(x-2)2+y2

|x-8|

=

1

2

，由此能求出點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）由（1）得A₁（-4，0）、A₂（4，0），設(shè)直線x=8交x軸于Q，根據(jù)橢圓的對稱性，設(shè)P（8，m）（m＞0），由此能求出∠A₁PA₂的最大值．

解答： 解：（1）設(shè)M（x，y）是軌跡上任意一點(diǎn)…（1分）
依題意，

(x-2)2+y2

|x-8|

=

1

2

，
即2

(x-2)2+y2

=|x-8|…（3分）
兩邊平方得，4（x-2）²+y²=（x-8）²…（4分）
化簡得點(diǎn)M的軌跡方程為

x2

16

+

y2

12

=1，
∴點(diǎn)M的軌跡方程為

x2

16

+

y2

12

=1．…（6分）
（2）由（1）得A₁（-4，0）、A₂（4，0），…（7分）
設(shè)直線x=8交x軸于Q，根據(jù)橢圓的對稱性，
不妨設(shè)P（8，m）（m＞0），
則tan∠A1PQ=

12

m

，tan∠A2PQ=

4

m

…（9分）tan∠A1PA2=tan(∠A1PQ-∠A2PQ)=

tan∠A1PQ-tan∠A2PQ

1+tan∠A1PQ•tan∠A2PQ

…（10分）
=

8m

m2+48

…（11分），
∵m＞0，∴m2+48≥8

3

m…（12分），
∴

8m

m2+48

≤

3

3

…（13分）
∵tanx在區(qū)間(0，

π

2

)單調(diào)遞增，∴∠A₁PA₂的最大值為

π

6

．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查角的最大值勤的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意正切函數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．