已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過點(0,1),離心率e=
3
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線x=my+1與橢圓C交于A、B兩點,點A關(guān)于x軸的對稱點為A′.
①求△AOB的面積的最大值(O為坐標原點);
②“當(dāng)m變化時,直線A′B與x軸交于一個定點”.你認為此推斷是否正確?若正確,請寫出定點坐標,并證明你的結(jié)論;若不正確,請說明理由.
分析:(1)由題意可得
0+
1
b2
=1
e=
c
a
=
3
2
a2=b2+c2
,解得即可;
(2))①設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系,利用S△AOB=
1
2
|OT|•|y1-y2|
=
2
m2+3
4+m2

令t=
m2+3
,則t≥
3
S△AOB=
2t
1+t2
=
2
t+
1
t
,再利用t+
1
t
[
3
,+∞)
單調(diào)遞增,即可得出△AOB有最小值.
②A′(x1,-y1).直線A′B的方程為:y-y2=
y2+y1
x2-x1
(x-x1)
.令y=0,得x=
x1y2+x2y1
y1+y2
代入根與系數(shù)的關(guān)系即可得出.
解答:解:(1)由題意可得
0+
1
b2
=1
e=
c
a
=
3
2
a2=b2+c2
,解得a2=4,b=1,c=
3

∴橢圓的方程為
x2
4
+y2=1

(2)①設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).聯(lián)立
x=my+1
x2+4y2=4
,得(4+m2)y2+2my-3=0,
y1+y2=-
2m
4+m2
,y1y2=
-3
4+m2

∴S△AOB=
1
2
|OT|•|y1-y2|
=
2
m2+3
4+m2

令t=
m2+3
,則t≥
3
S△AOB=
2t
1+t2
=
2
t+
1
t
,
t+
1
t
[
3
,+∞)
單調(diào)遞增,∴當(dāng)t=
3
時,△AOB有最小值
3
2

②A′(x1,-y1).直線A′B的方程為:y-y2=
y2+y1
x2-x1
(x-x1)

令y=0,得x=
x1y2+x2y1
y1+y2
=
(my1+1)y2+(my2+1)y1
y1+y2
=
2my1y2
y1+y2
+1
=4為定值.
點評:熟練掌握橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、三角形的面積公式、函數(shù)的單調(diào)性等是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
1
2
,且經(jīng)過點P(1,
3
2
)

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)F是橢圓C的左焦,判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的短軸長為2
3
,右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合,O為坐標原點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點,點D(-4,0),且滿足
DA
DB
,若λ∈[
3
8
,
1
2
],求直線AB的斜率的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過點A(1,
3
2
),且離心率e=
3
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點B(-1,0)能否作出直線l,使l與橢圓C交于M、N兩點,且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O.若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•房山區(qū)二模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的長軸長是4,離心率為
1
2

(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)過點P(0,-2)的直線l交橢圓于M,N兩點,且M,N不與橢圓的頂點重合,若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的短軸長為2,離心率為
2
2
,設(shè)過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A,B,過A,B作直線x=2的垂線AP,BQ,垂足分別為P,Q.記λ=
AP+BQ
PQ
,若直線l的斜率k≥
3
,則λ的取值范圍為
 

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