Question

設函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

6

）+cos²x+

3

sinxcosx．
（1）若|x|＜

π

4

，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）設A，B，C為△ABC的三個內(nèi)角，若f（

A

2

）=

5

2

，cos（A+C）=-

5 3

14

，求cosC的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,同角三角函數(shù)基本關系的運用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先，化簡函數(shù)，然后，利用輔助角公式，得到f（x）=2sin（2x+

π

6

）+

1

2

，然后，借助于|x|＜

π

4

，求解值域；
（2）首先，確定A的值，然后，求解cosC的值．

解答： 解：（1）∵f(x)=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1+cos2x

2

+

3

2

sin2x
=

3

sin2x+cos2x+

1

2

=2sin(2x+

π

6

)+

1

2

，
∵|x|＜

π

4

∴-

π

3

＜2x+

π

6

＜

2π

3

，
∴-

3

2

＜sin(2x+

π

6

)≤1，
∴

1

2

-

3

＜f(x)≤

5

2

，
∴f（x）的值域為(

1

2

-

3

，

5

2

]；
（2）由f(

A

2

)=

5

2

，得sin(A+

π

6

)=1，
∵A為△ABC的內(nèi)角，∴A=

π

3

，
又∵在△ABC中，cos(A+C)=-

5 3

14

，
∴sin(A+C)=

11

14

，
∴cosC=cos(A+C-

π

3

)=

1

2

cos(A+C)+

3

2

sin(A+C)=

3 3

14

，
∴cosC的值為

3 3

14

．

點評：本題綜合考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式，三角形的內(nèi)角性質(zhì)等知識，考查比較綜合，屬于中檔題．