Question

已知函數(shù)(是常數(shù))在處的切線方程為，且.

（1）求常數(shù)的值；

（2）若函數(shù)()在區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

（1），，（2）

【解析】

試題分析：（1）在處的切線切線斜率為，由導數(shù)的幾何意義可知，將代入切線方程可得即又因為，解以上三個方程組成的方程組可得的值。（2）由（1）可知函數(shù)的解析式，從而可得函數(shù)解析式。將其求導可得，令，可將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在內(nèi)有極值，即應(yīng)有2個根（判別式應(yīng)大于0），但在內(nèi)至少有一個根（故應(yīng)分兩種情況討論）。因為，所以在內(nèi)有一個根時應(yīng)有，在內(nèi)有兩個根時應(yīng)因為，則且頂點縱坐標小于0

（1）由題設(shè)知，的定義域為,,

因為在處的切線方程為，

所以,且，即,且,

又 ，解得，，

（2）由（Ⅰ）知

因此，

所以

令.

（ⅰ）當函數(shù)在內(nèi)有一個極值時，在內(nèi)有且僅有一個根，即在內(nèi)有且僅有一個根，又因為，當，即時，在內(nèi)有且僅有一個根，當時，應(yīng)有，即，解得，所以有.

（ⅱ）當函數(shù)在內(nèi)有兩個極值時，在內(nèi)有兩個根，即二次函數(shù)在內(nèi)有兩個不等根，

所以，解得.

綜上，實數(shù)的取值范圍是

考點：1導數(shù)的幾何意義；2用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)；3轉(zhuǎn)化思想。