Question

有一個受到污染的湖泊，其湖水的容積為V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)正好平衡，且污染物質(zhì)與湖水能很好地混合，用g(t)表示某一時刻t每立方米湖水所含污染物質(zhì)的克數(shù)，我們稱為在時刻t時的湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)，已知目前污染源以每天p克的污染物質(zhì)污染湖水，湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)滿足關(guān)系式g(t)= +［g(0)- ］·e(p≥0),其中，g(0)是湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù).

（1）當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時，求湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)； 

（2）求證：當(dāng)g(0)< 時，湖泊的污染程度將越來越嚴(yán)重； 

（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要經(jīng)過多少天才能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%？

Answer 1

(1)  (2) 證明見解析（3） ln20天才能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%

解析:

（1）∵g(t)為常數(shù),  有g(0)-=0, ∴g(0)= .                                                      

(2) 我們易證得0<t₁<t₂, 則

g(t₁)-g(t₂)=［g(0)- ］e-［g(0)- ］e=［g(0)- ］［e-e］=［g(0)- ］,

∵g(0)·<0,t₁<t₂,e>e,

∴g(t₁)<g(t₂)    .                                                                                                                                

故湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)隨時間變化而增加，污染越來越嚴(yán)重.                                        

(3)污染停止即P=0，g(t)=g(0)·e,設(shè)經(jīng)過t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g(t)=5% g(0)?

∴=e，∴t= ln20，

故需要 ln20天才能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%.