Question

有一個受到污染的湖泊，其湖水的容積為vm³，現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)正好平衡，且污染物質(zhì)與湖水能很好地混合．用g（t）表示某一時刻t每立方米湖水所含污染物質(zhì)（g），我們稱其為在時刻t時的湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)．已知目前污染源以每天pg的污染物質(zhì)污染湖水，湖水污染質(zhì)量滿足關(guān)系式g（t）=

p

r

+[g(0)-

p

r

]e-

r

v

t（p≥0），其中g(shù)（0）是湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)．
（1）當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時，求湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)；
（2）求證：當(dāng)g（0）＜

p

r

時，湖泊的污染程度將越來越嚴(yán)重；
（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，問經(jīng)過多少天才能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%

Answer 1

分析：（1）設(shè)0≤t₁＜t₂，根據(jù)g（t） 為常數(shù)故可判斷出g（t₁）=g（t₂），把解析式代入即可求得g（0）的值．
（2）設(shè)0＜t₁＜t₂，進(jìn)而求得g（t₁）-g（t₂）=[g(0)-

p

r

](e-

r

v

t 1-e-

r

v

t 2)，根據(jù)g（0）-

p

r

＜0，0＜t₁＜t₂，判斷出g（t₁）＜g（t₂）．證明出污染的問題越來越嚴(yán)重．
（3），設(shè)經(jīng)過t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%，進(jìn)而根據(jù)g（t）=5% g（0）求得t的值．

解答：解：（1）設(shè)0≤t₁＜t₂，
因為g（t） 為常數(shù)，∴g（t₁）=g（t₂），即[g(0)-

p

r

]e-

r

v

t 1=[g(0)-

p

r

]e-

r

v

t 2，整理得[g(0)-

p

r

](e-

r

v

t 1-e-

r

v

t 2)=0
則g（0）=

p

r

；
（2）設(shè)0＜t₁＜t₂，g（t₁）-g（t₂）=[g(0)-

p

r

]e-

r

v

t 1-[g(0)-

p

r

]e-

r

v

t 2=[g(0)-

p

r

](e-

r

v

t 1-e-

r

v

t 2)
因為g（0）-

p

r

＜0，0＜t₁＜t₂，g（t₁）＜g（t₂）．
∴污染越來越嚴(yán)重．
（3）污染停止即P=0，g（t）=g（0）•e

r

v

t，設(shè)經(jīng)過t天能使湖水污染下降到初始污染水平5%即g（t）=5% g（0）?

1

20

=e

r

v

t，∴t=

v

r

ln20，
故需要

v

r

ln20天才能使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的5%．

點(diǎn)評：本題主要考查了根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型．考查了學(xué)生對函數(shù)基礎(chǔ)知識的掌握和靈活運(yùn)用．