Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²-a|x-2|+a．
（1）求證：y=f（x）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P，Q；
（2）若y=f（x）的最小值為0，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)絕對(duì)值的意義可得到當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）=x²-ax+3a當(dāng)x＜2時(shí)，f（x）=x²+ax-a要使y=f（x）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P，Q則a的值對(duì)函數(shù)無(wú)影響則需將含a的式子合并然后系數(shù)為0再求出相應(yīng)的y值即得到定點(diǎn)．
（2）由（1）可得f（x）在x=

a

2

或x=-

a

2

時(shí)有函數(shù)的最小值故將x=

a

2

，x=-

a

2

代入求出a但要結(jié)合x(chóng)的范圍取舍a的值．

解答：解：（1）∵f（x）=x²-a|x-2|+a
∴當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）=x²-ax+3a=x²+a（3-x）①，可知，當(dāng)x=3時(shí)，a的值對(duì)函數(shù)無(wú)影響，所以函數(shù)過(guò)定點(diǎn)（3，9）
當(dāng)x＜2時(shí)，f（x）=x²+ax-a=x²+a（x-1）②，所以，又過(guò)定點(diǎn)（1，1）
（2）由（1）可知，當(dāng)x=

a

2

或x=-

a

2

時(shí)有函數(shù)的最小值，當(dāng)為①時(shí)，x=

a

2

，y=0，解得：a=0或a=

4

3

而當(dāng)a=0時(shí)x=0＜2，當(dāng)a=

4

3

時(shí)x∈∅
當(dāng)為②時(shí)，x=-

a

2

，y=0，解得：a=0或a=-4
綜上：a=0或-4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了分段函數(shù)的最值及恒成立問(wèn)題．第一問(wèn)解題的關(guān)鍵要分析出要恒過(guò)定點(diǎn)即與a無(wú)關(guān)即將含a的式子合并然后系數(shù)為0，第二問(wèn)要分析出當(dāng)x=

a

2

或x=-

a

2

時(shí)有函數(shù)的最小值再代入求值時(shí)但要注意a的值要在限制條件x≥2，x＜2下進(jìn)行取舍！