Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，求的值；

（2）若存在，使函數(shù)的圖像在點(diǎn)和點(diǎn)處的切線互相垂直，求的取值范圍；

（3）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則是否存在實(shí)數(shù)，使對任意的恒成立？若存在，求出的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)存在，.

【解析】

試題分析：(1)借助題設(shè)條件建立方程求解；(2)借助題設(shè)依據(jù)導(dǎo)數(shù)知識建立函數(shù)求解；(3)借助題設(shè)條件運(yùn)用二次函數(shù)的知識建立不等式組探求.

試題解析：

（1）由得，

，解得

（2）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，，

由題意得，即，

整理得，

設(shè)，由，得，

則有，

設(shè)，則在上有零點(diǎn)，

考慮到，

所以或，解得或，

所以的取值范圍是

（3），

令，由題意，在區(qū)間上有兩個(gè)不同零點(diǎn)，

則有，解得

設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為和，

則和是在區(qū)間上的兩個(gè)不同零點(diǎn)，

不妨設(shè)，則①，

得且關(guān)于在上遞增，

因此

又由①可得②，

當(dāng)時(shí)，遞減；

時(shí)，遞增；

當(dāng)時(shí)，遞減，

結(jié)合②可得

設(shè)，

則，

所以在上遞增，

所以，從而，

所以，

又，所以存在，使，

綜上，存在滿足條件的，的取值范圍為