Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC=6，BD=，E是PB上任意一點
（1）求證：AC⊥DE；
（2）當△AEC面積的最小值是9時，求PD的長
（3）在（2）的條件下，在線段BC上是否存在點G，使EG與面PAB所成角的正切值為2？若存在，求出BG的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥AC
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC
∴AC⊥面PBD
∴AC⊥DE
（2）設AC與BD交點為F，由（1）知，
AC⊥EF
當△AEC面積的最小值是9時，
EF取得最小值3
在△PBD中，當FE⊥PB時，EF最小，此時EB=
由△BEF∽△BDP得，解得
（3）以點F為坐標原點，F(xiàn)B，F(xiàn)C所在直線分別為x軸、y軸，建立空間直角坐標系，
則
而
∴
而面PAB的法向量
由已知得，解得∴存在靠近點C的三等分點G滿足題意
分析：（1）根據(jù)幾何體的線線、線面關系利用線面垂直的判定定理得到AC⊥面PBD，進而由線面垂直轉化為線線垂直．
（2）設AC與BD交點為F，由（1）知，AC⊥EF，結合平面知識當△AEC面積的最小值是9時，EF取得最小值3，進而根據(jù)三角形相似得到答案．
（3）建立空間坐標系，分別求出平面的法向量與直線所在的向量，再利用向量之間的運算求出兩個向量的夾角，進而轉化為線面角得到答案．
點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結構特征，進而得到線線、線面關系，也有利于建立空間坐標系利用向量求解線面角；此題考查學生的空間想象能力，邏輯思維能力，計算能力，轉化思想，是中檔題．