Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的導(dǎo)數(shù)f′（x），f′（0）＞0，且f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），則

f(1)

f′(0)

的最小值為（　�。�

• A、3
• B、

  5

  2

• C、2
• D、

  3

  2

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），可得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，f（x）≥0成立求出a的范圍及a，b c的關(guān)系，求出f（1）及f′（0），作比后放縮去掉c，通分后利用基本不等式求最值．

解答： 解：∵f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），
即f（x）≥0恒成立，
∴

a＞0 △=b2-4ac=0

，
∴c=

b2

4a

．
又f′（x）=2ax+b，
∴f′（0）=b＞0，f（1）=a+b+c．
∴

f(1)

f′(0)

=1+

a+c

b

=1+

a+ b2 4a

b

=1+

4a2+b2

4ab

≥1+

2• 4a2•b2

4ab

=2．
當(dāng)且僅當(dāng)4a²=b²時(shí)，“=”成立．
即

f(1)

f(0)

的最小值為2
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，關(guān)鍵是通過放縮轉(zhuǎn)化為含有兩個(gè)變量的代數(shù)式，是中檔題．