Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=loga（a＞0且a≠1）．

（1）求f（x）的定義域；

（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，判斷f（x）在（2，+∞）的單惆性；

（3）是否存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)f（x）的定義域?yàn)閇m，n]時(shí)，值域?yàn)閇1+logan，1+1ogam]，若存在，求出實(shí)數(shù)a的范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）； （2）見(jiàn)解析；（3）存在這樣的實(shí)數(shù)a∈（0，）符合題意.

【解析】

（1）由對(duì)數(shù)式的真數(shù)大于0求解函數(shù)的定義域；

（2）利用分離常數(shù)法判斷真數(shù)的單調(diào)性，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得答案；

（3）把的定義域?yàn)?/span>，時(shí)值域?yàn)?/span>，轉(zhuǎn)化為在上為減函數(shù)，進(jìn)一步得到在上有兩個(gè)互異實(shí)根，令，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式組求解．

（1）由＞0，得x＜-2或x＞2．

∴f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-2）∪（2，+∞）；

（2）令t（x）==1-，t（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)，

又0＜a＜1，

∴f（x）在（2，+∞）上為減函數(shù)；

（3）假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)f（x）的定義域?yàn)閇m，n]時(shí)，值域?yàn)閇1+logan，1+1ogam]，

由m＜n且1+logan，1+1ogam，

即m＜n1+logan，1+1ogam，可得0＜a＜1．

t（x）=1-在（2，+∞）上為增函數(shù)，

又∵0＜a＜1，

∴f（x）在（2，+∞）上為減函數(shù)，

∴，

∴，即在（2，+∞）上有兩個(gè)互異實(shí)根，

令g（x）=ax2+（2a-1）x+2，

則，解得0＜a＜．

又∵0＜a＜1，故存在這樣的實(shí)數(shù)a∈（0，）符合題意．