Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+2x+c（a≠0）的圖象與y軸交于點(diǎn)（0，1），且滿足f（-2+x）=f（-2-x）（x∈R）
（Ⅰ）求該二次函數(shù)的解析式及函數(shù)的零點(diǎn)．
（Ⅱ）已知函數(shù)在（t-1，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（I）利用二次函數(shù)f（x）=ax²+2x+c（a≠0）的圖象與y軸交于點(diǎn)（0，1），可求c的值；根據(jù)函數(shù)f（x）滿足f（-2+x）=f（-2-x）（x∈R），可求a的值，從而可得二次函數(shù)的解析式；由f（x）=0，可得函數(shù)的零點(diǎn)；
（II）根據(jù)函數(shù)在（t-1，+∞）上為增函數(shù)，且函數(shù)圖象的對稱軸為x=-2，可得t-1≥-2，從而可求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（I）因?yàn)槎�次函�?shù)f（x）=ax²+2x+c（a≠0）的圖象與y軸交于點(diǎn)（0，1），所以c=1               
又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）滿足f（-2+x）=f（-2-x）（x∈R），所以x=-

2

2a

=-2，所以a=

1

2

所以二次函數(shù)的解析式為：f（x）=

1

2

x²+2x+1
由f（x）=0，可得函數(shù)的零點(diǎn)為：-2+

2

，-2-

2

；
（II）因?yàn)楹瘮?shù)在（t-1，+∞）上為增函數(shù)，且函數(shù)圖象的對稱軸為x=-2，
所以由二次函數(shù)的圖象可知：t-1≥-2
∴t≥-1．

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)解析式的確定，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．