Question

【題目】設(shè)函數(shù)為常數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，

①當(dāng)時(shí)，求的最小值；

②當(dāng)時(shí)，求的值．

Answer 1

【答案】（1）（2）①②

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在處切線的斜率，結(jié)合切點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式寫出切線方程.

（2）①利用的二階導(dǎo)數(shù)，求得的最小值的表達(dá)式，利用，對(duì)進(jìn)行分離常數(shù)，由此求得的取值范圍，進(jìn)而求得的最小值. ②當(dāng)時(shí)，假設(shè)是函數(shù)的零點(diǎn)，證得也是函數(shù)的零點(diǎn)，也即，由此求得.

（1）當(dāng)時(shí)，，，，，

故所求切線的方程為，即.

（2）①，令，則，

當(dāng)時(shí)恒成立，故在上遞減，

令得，故在上遞增，

又，，的圖象在上連續(xù)不間斷，

所以存在唯一實(shí)數(shù)使得，

故時(shí)，時(shí)，所以在上遞減，在上遞增，

∴，由得，

∴，

因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，所以，得，

由易得，故整數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，滿足題意，

故整數(shù)的最小值為.（也可以用零點(diǎn)存在性定理給出證明)

注：由得，不能得到.

②當(dāng)時(shí)，，

不妨設(shè)，由及的單調(diào)性可知，

由得，

∴，

故函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，

又由的單調(diào)性可知有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，

∴，∴.