【題目】已知橢圓中心在原點,焦點在坐標(biāo)軸上,直線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點是,點在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點,橢圓另一個焦點是,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線過點,且與橢圓交于兩點,求的內(nèi)切圓面積的最大值.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)利用將點的橫坐標(biāo)代入直線,求得點的坐標(biāo),代入的坐標(biāo)運算,求得的值,也即求得點的坐標(biāo),將的坐標(biāo)代入橢圓,結(jié)合,解方程組求得的值,進(jìn)而求得橢圓方程.(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程并寫出根與系數(shù)關(guān)系,由此求得的面積,利用導(dǎo)數(shù)求得面積的最大值,并由三角形與內(nèi)切圓有關(guān)的面積公式,求得內(nèi)切圓的半徑的最大值.
(1)設(shè)橢圓方程為,點在直線上,且點在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點,則點.
∵
∴
又
解得
∴橢圓方程為
(2)由(1)知,,過點的直線與橢圓交于兩點,
則的周長為,又(為三角形內(nèi)切圓半徑),
∴當(dāng)的面積最大時,其內(nèi)切圓面積最大.
設(shè)直線的方程為:,,則
消去得,
∴
∴
令,則,∴
令,
當(dāng)時,,
在上單調(diào)遞增,
∴,當(dāng)時取等號,
即當(dāng)時,的面積最大值為3,
結(jié)合,得的最大值為,
∴內(nèi)切圓面積的最大值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從某電子商務(wù)平臺隨機抽取了1000位網(wǎng)上購物者(年消費都達(dá)到2000元),并對他們的年齡進(jìn)行了調(diào)查,統(tǒng)計情況如下表所示:
年齡 | ||||||
人數(shù) | 100 | 150 | 400 | 200 | 100 | 50 |
該電子商務(wù)平臺將年齡在的人群定義為消費主力軍,其它年齡段定義為消費潛力軍.
(1)若該電子商務(wù)平臺共10萬位網(wǎng)上購物者,試估計消費主力軍的人數(shù);
(2)為了鼓勵消費潛力軍消費,該平臺決定對年消費達(dá)到2000元的購物者發(fā)放代金券,消費主力軍每人發(fā)放100元,消費潛力軍每人發(fā)放200元.現(xiàn)采用分層抽樣(按消費主力軍與消費潛力軍分層)的方式從參與調(diào)查的1000位網(wǎng)上購物者中抽取10人,并在這10人中隨機抽取3人進(jìn)行回訪,求這3人獲得代金券總金額(單位:元)的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系 中,曲線 的參數(shù)方程為 (為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點, 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線 的極坐標(biāo)方程為 .
(1)求直線和曲線的普通方程;
(2)已知點,且直線和曲線交于兩點,求 的值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在某次活動中,有5名幸運之星.這5名幸運之星可獲得、兩種獎品中的一種,并規(guī)定:每個人通過拋擲一枚質(zhì)地均為的骰子決定自己最終獲得哪一種獎品(骰子的六個面上的點數(shù)分別為1點、2點、3點、4點、5點、6點),拋擲點數(shù)小于3的獲得獎品,拋擲點數(shù)不小于3的獲得獎品.
(1)求這5名幸運之星中獲得獎品的人數(shù)大于獲得獎品的人數(shù)的概率;
(2)設(shè)、分別為獲得、兩種獎品的人數(shù),并記,求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知球是正三棱錐(底面為正三角形,頂點在底面的射影為底面中心)的外接球,,,點在線段上,且,過點作球的截面,則所得截面圓面積的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點,直線,設(shè)圓的半徑為1, 圓心在上.
(1)若圓心也在直線上,過點作圓的切線,求切線方程;
(2)若圓上存在點,使,求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中直線與拋物線C:交于A,B兩點,且.
求C的方程;
若D為直線外一點,且的外心M在C上,求M的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓,如圖所示,斜率為且不過原點的直線交橢圓于兩點,線段的中點為,射線交橢圓于點,交直線于點.
(1)求的最小值;
(2)若,求證:直線過定點.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校組織甲、乙、丙、丁、戊、己等6名學(xué)生參加演講比賽,采用抽簽法決定演講順序,在“學(xué)生甲和乙都不是第一個出場,且甲不是最后一個出場”的前提下,學(xué)生丙第一個出場的概率為__________.
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