若函數(shù)f(x)在定義域D內(nèi)某區(qū)間I上是增函數(shù),而數(shù)學公式在I上是減函數(shù),則稱函數(shù)y=f(x)在I上是“慢增函數(shù)”.若函數(shù)h(x)=x2數(shù)學公式(θ,b是常數(shù))在(0,1]上是“慢增函數(shù)”,下面的θ和正數(shù)b能滿足的條件的是


  1. A.
    b=-1,數(shù)學公式
  2. B.
    數(shù)學公式
  3. C.
    b=2,數(shù)學公式
  4. D.
    數(shù)學公式
D
分析:由于h(x)在(0,1]上是“慢增函數(shù)”,所以h(x)在(0,1]上單調(diào)遞增,在(0,1]上單調(diào)遞減,由此可求出θ及正數(shù)b滿足的條件.
解答:因為h(x)=x2+(sinθ-)x+b(θ、b是常數(shù))在(0,1]上是“慢增函數(shù)”
所以h(x)=x2+(sinθ-)x+b在(0,1]上是增函數(shù),
且F(x)==x++(sinθ-)在(0,1]上是減函數(shù),
由h(x)=x2+(sinθ-)x+b在(0,1]上是增函數(shù),得h′(x)≥0
即2x+(sinθ-)≥0在(0,1]上恒成立,
所以≤0,
即sinθ≥,
解得θ∈[2kπ+,2kπ+],k∈Z.
由F(x)=在(0,1]上是減函數(shù),得F′(x)≤0在(0,1]上恒成立,
即1-≤0,b≥x2在(0,1]上恒成立,
所以b≥1.
綜上所述,b≥1且θ∈[2kπ+,2kπ+],k∈Z時,h(x)在(0,1]上是“慢增函數(shù)”.
故選D
點評:本題以新定義的形式考查函數(shù)的單調(diào)性,考查運用所學知識分析解決新問題的能力.
練習冊系列答案
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①f(x)=sinx+cosx,②f(x)=lnx-2x,③f(x)=-x4+x3-x2+1,④f(x)=-xe-x
以上四個函數(shù)在(0,
π2
)
上是凸函數(shù)的是
①②③
①②③
(請把所有正確的序號均填上)

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設函數(shù)f(x)=(x-1)2+blnx.
(1)若f(x)在x=2時取得極小值,求b的值;
(2)若函數(shù)f(x)在定義城上是單調(diào)函數(shù),求b的取值范圍.

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