Question

設a＞0，函數f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是單調函數．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）設x≥1，f（x）≥1，且f（f（x））=x，求證：f（x）=x．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知函數f（x）=x³-ax在[1，+∞）上是單調函數，故f′（x）≥0或≤0在[1，+∞）上恒成立，用分離參數求最值即可．．
（2）結合（1）中的單調性用反證法考慮．
解答：解：（1）f′（x）=3x²-a
若f（x）在[1，+∞）上是單調遞減函數，
則須y′≤0，即α≥3x²恒成立，
這樣的實數a不存在，
故f（x）在[1，+∞）上不可能是單調遞減函數；
若f（x）在[1，+∞）]上是單調遞增函數，則a≤3x²恒成立，
由于x∈[1，+∞），故3x²≥3，解可得a≤3，
又由a＞0，則a的取值范圍是0＜a≤3；
（2）（反證法）由（1）可知f（x）在[1，+∞）上只能為單調遞增函數．
假設f（x）≠x，若1≤x＜f（x），則f（x）＜f（f（x））=x，矛盾； …（8分）
若1≤f（x）＜x，則f（f（x））＜f（x），即x＜f（x），矛盾，…（10分）
故只有f（x）=x成立．
點評：本題考查函數單調性的應用：已知單調性求參數范圍，及符合函數的求值問題，注意反證法的應用．