設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2π+?)(-π<?<0),y=f(x)圖象的一條對(duì)稱軸是直線x=
π8

(Ⅰ)求?;
(Ⅱ)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(Ⅲ)證明直線5x-2y+c=0與函數(shù)y=f(x)的圖象不相切.
分析:(Ⅰ)y=f(x)圖象的一條對(duì)稱軸是直線x=
π
8
.就是x=
π
8
時(shí)函數(shù)取得最值,結(jié)合?的范圍,求出?的值;
(Ⅱ)利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間,直接求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(Ⅲ)利用導(dǎo)數(shù)求出導(dǎo)函數(shù)的值域,從而證明直線5x-2y+c=0與函數(shù)y=f(x)的圖象不相切.
解答:解:(Ⅰ)∵x=
π
8
是函數(shù)y=f(x)的圖象的對(duì)稱軸,
sin(2×
π
8
+?)=±1
,∴
π
4
+π=kπ+
π
2
,k∈Z.
∵-π<?<0,?=-
4

(Ⅱ)由(Ⅰ)知?=-
4
,因此y=sin(2x-
4
)

由題意得2kπ-
π
2
≤2x-
4
≤2kπ+
π
2
,k∈Z.
所以函數(shù)y=sin(2x-
4
)
的單調(diào)增區(qū)間為[kπ+
π
8
,kπ+
8
],k∈Z

(Ⅲ)證明:∵|y'|=|(sin(2x-
4
))′|
=|2cos(2x-
4
)|≤2

所以曲線y=f(x)的切線斜率取值范圍為[-2,2],
而直線5x-2y+c=0的斜率為
5
2
>2,
所以直線5x-2y+c=0與函數(shù)y=sin(2x-
4
)
的圖象不相切.
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)及圖象的基本知識(shí),考查推理和運(yùn)算能力.是綜合題,?碱}型.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)的圖象過點(diǎn)(
π8
,-1).
(1)求φ;  
(2)求函數(shù)y=f(x)的周期和單調(diào)增區(qū)間;
(3)在給定的坐標(biāo)系上畫出函數(shù)y=f(x)在區(qū)間,[0,π]上的圖象.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)圖象的一條對(duì)稱軸是直線x=
π8

(1)求φ;
(2)怎樣由函數(shù)y=sin x的圖象變換得到函數(shù)f(x)的圖象,試敘述這一過程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f (x)=sin(2x+
π
3
)+
3
3
sin2x-
3
3
cos2x

(1)求f(x)的最小正周期及其圖象的對(duì)稱軸方程;
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移
π
3
個(gè)單位長度,得到函數(shù)g(x)的圖象,求g (x)在區(qū)間[-
π
6
,
π
3
]
上的值域.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-
π
2
<?<
π
2
),給出以下四個(gè)論斷:
①它的圖象關(guān)于直線x=
π
12
對(duì)稱;        
②它的周期為π;
③它的圖象關(guān)于點(diǎn)(
π
3
,0)對(duì)稱;      
④在區(qū)間[-
π
6
,0]上是增函數(shù).
以其中兩個(gè)論斷作為條件,余下兩個(gè)論斷作為結(jié)論,寫出你認(rèn)為正確的兩個(gè)命題:
(1)
①③⇒②④
①③⇒②④
; (2)
①②⇒③④
①②⇒③④

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案