【題目】如圖,三棱柱中,側(cè)棱平面,為等腰直角三角形,,且分別是的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求銳二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ);
【解析】
試題分析:(1)要證明平面,需證明及,前面在平面中證明,利用勾股定理,即通過(guò)計(jì)算設(shè),則.∴,∴.后者通過(guò)線(xiàn)面垂直與線(xiàn)線(xiàn)垂直的轉(zhuǎn)化得,即由面面,得面,再得。(2)求二面角的余弦值,可通過(guò)作、證、算,本題可過(guò)作,則為所求二面角的平面角.也可利用空間向量求,先建系,求出平面及平面的法向量,利用向量數(shù)量積求出兩法向量的夾角,最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得出結(jié)論.
試題解析:(1)連結(jié),∵是等腰直角三角形斜邊的中點(diǎn),∴.
又三棱柱為直三棱柱,
∴面面,
∴面,. 2分
設(shè),則.
∴,∴. 4分
又,∴平面. 6分
(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別為軸建立直角坐標(biāo)系如圖,設(shè),
則,
,. 8分
由(1)知,平面,
∴可取平面的法向量.
設(shè)平面的法向量為,
由
∴可取. 10分
設(shè)銳二面角的大小為,
則.
∴所求銳二面角的余弦值為. 12分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)
已知曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),C在點(diǎn)(1,1)處的切線(xiàn)為l,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則l的極坐標(biāo)方程為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)某種書(shū)籍每?jī)?cè)的成本費(fèi)(元)與印刷冊(cè)數(shù)(千冊(cè))的數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.
4.83 | 4.22 | 0.3775 | 60.17 | 0.60 | -39.38 | 4.8 |
表中,.
為了預(yù)測(cè)印刷20千冊(cè)時(shí)每?jī)?cè)的成本費(fèi),建立了兩個(gè)回歸模型:,.
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖,你認(rèn)為選擇哪個(gè)模型預(yù)測(cè)更可靠?(只選出模型即可)
(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)和(1)中選擇的模型,求關(guān)于的回歸方程,并預(yù)測(cè)印刷20千冊(cè)時(shí)每?jī)?cè)的成本費(fèi).
附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),,…,,其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某大學(xué)餐飲中心為了了解新生的飲食習(xí)慣,在某學(xué)院大一年級(jí)名學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查,發(fā)現(xiàn)喜歡甜品的占.這名學(xué)生中南方學(xué)生共人。南方學(xué)生中有人不喜歡甜品.
(1)完成下列列聯(lián)表:
喜歡甜品 | 不喜歡甜品 | 合計(jì) | |
南方學(xué)生 | |||
北方學(xué)生 | |||
合計(jì) |
(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù),問(wèn)是否有的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”;
(3)已知在被調(diào)查的南方學(xué)生中有名數(shù)學(xué)系的學(xué)生,其中名不喜歡甜品;有名物理系的學(xué)生,其中名不喜歡甜品.現(xiàn)從這兩個(gè)系的學(xué)生中,各隨機(jī)抽取人,記抽出的人中不喜歡甜品的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附:.
0.15 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方形OABC中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,10),分別將線(xiàn)段OA和AB十等分,分點(diǎn)分別記為A1 , A2 , …,A9和B1 , B2 , …,B9 , 連接OBi , 過(guò)Ai作x軸的垂線(xiàn)與OBi , 交于點(diǎn) .
(1)求證:點(diǎn) 都在同一條拋物線(xiàn)上,并求拋物線(xiàn)E的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)E交于不同的兩點(diǎn)M,N,若△OCM與△OCN的面積之比為4:1,求直線(xiàn)l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4﹣4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為 ,直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為 ,且點(diǎn)A在直線(xiàn)l上.
(1)求a的值及直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程;
(2)圓C的參數(shù)方程為 ,試判斷直線(xiàn)l與圓C的位置關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校課題組為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)之間的關(guān)系,隨機(jī)抽取高二年級(jí)20名學(xué)生某次考試成績(jī)(百分制)如下表所示:
序號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
數(shù)學(xué)成績(jī) | 95 | 75 | 80 | 94 | 92 | 65 | 67 | 84 | 98 | 71 | 67 | 93 | 64 | 78 | 77 | 90 | 57 | 83 | 72 | 83 |
物理成績(jī) | 90 | 63 | 72 | 87 | 91 | 71 | 58 | 82 | 93 | 81 | 77 | 82 | 48 | 85 | 69 | 91 | 61 | 84 | 78 | 86 |
若數(shù)學(xué)成績(jī)90分(含90分)以上為優(yōu)秀,物理成績(jī)85(含85分)以上為優(yōu)秀,則有多少把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)有關(guān)系( )
A. 95% B. 97.5% C. 99.5% D. 99.9%
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知A,B,C是橢圓W: 上的三個(gè)點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn),且四邊形OABC為菱形時(shí),求此菱形的面積;
(2)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí),判斷四邊形OABC是否可能為菱形,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門(mén)文化課和其他三門(mén)藝術(shù)課各1節(jié),則在課程表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為(用數(shù)字作答).
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