5.證明函數(shù)f(x)=$\frac{2-x}{x+2}$在(-2,+∞)上是減函數(shù).

分析 先分離常數(shù),將原函數(shù)變成f(x)=-1+$\frac{4}{x+2}$,然后根據(jù)單調(diào)性的定義,設(shè)x1>x2>-2,然后作差證明f(x1)<f(x2)即可.

解答 證明:f(x)=$\frac{2-x}{x+2}=\frac{-(x+2)+4}{x+2}=-1+\frac{4}{x+2}$;
設(shè)x1>x2>-2,則:
$f({x}_{1})-f({x}_{2})=\frac{4}{{x}_{1}+2}-\frac{4}{{x}_{2}+2}$=$\frac{4({x}_{2}-{x}_{1})}{({x}_{1}+2)({x}_{2}+2)}$;
∵x1>x2>-2;
∴x2-x1<0,x1+2>0,x2+2>0;
∴f(x1)<f(x2);
∴f(x)在(-2,+∞)上是減函數(shù).

點(diǎn)評 考查函數(shù)單調(diào)性的定義,根據(jù)減函數(shù)定義證明一個函數(shù)為減函數(shù)的方法和過程,作差比較f(x1),f(x2)的方法,分離常數(shù)法的運(yùn)用.

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x1234
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